Presentación de e y algunas cosillas sobre él

e es un número, al igual que pi, irracional: Tiene un número infinito de decimales y no es periódico. Aún así, igual que pi es aproximadamente 3,14, el número e es aproximadamente 2,72.

Para ver más cifras decimales de e, ver el siguiente enlace:

500 mil millones cifras de e

En el que Shigeru Kondo da 500 mil cifras decimales obtenidas por él mismo. Este japonés tiene el récord del número de decimales averiguados sobre pi, sobre e y otros irracionales.

El número e comparte con pi otra característica: no es solución de ninguna ecuación polinómica con coeficientes enteros. Por ello se dice que dicho número, lo mismo que pi, es trascendente e implica que el número e no puede ser representado sólo utilizando regla y compás un número finito de veces.

Hay infinitos números irracionales trascendentes, así que la pregunta es:
¿QUÉ TIENE DE ESPECIAL ESTE NÚMERO?

Aparece, al igual que pi, con mucha frecuencia, tanto en matemáticas, como en ciencias. Algunos ejemplos son:

Población de una especie, en caso de que no tenga
ninguna limitación
Imagen de:
http://ceipntrasradelapiedad.wordpress.com

• Que sirve para estudiar la población de un sistema, si esta va aumentando o decreciendo como una progresión geométrica (es decir, se multiplica por un número cada cierto tiempo). Así, N(t) es la cantidad de individuos en un tiempo t; N0 es la cantidad de individuos cuando empezamos a estudiar la población, r es el coeficiente de crecimiento de la población y t representa al tiempo transcurrido. La población pueden ser bacterias, personas... O partículas de sustancias radiactivas y que se van desintegrando con el tiempo. El valor de r dependerá de qué se estudie.

• ¿Te has fijado alguna vez en cómo cuelga un cable atado a dos postes de igual altura? El cable dibuja al colgar la curva que representa a la gráfica:

Imagen tomada de:
http://e-ducativa.catedu.es

• ¿Sabías que muchos fenómenos se pueden describir con lo que se llama "distribución normal"? Por ejemplo, el cociente intelectual de las personas. Partiendo del hecho de que la inteligencia es muy difícil de cuantificar, resulta que los tests de inteligencia se diseñan de manera que los resultados quedan descritos en una gráfica con forma acampanada como la siguiente:

En el eje y se representa el % de la población con el correspondiente IQ
Imagen tomada de http://www.juegosdelogica.com/test_inteligencia.htm

El valor medio del IQ de la población es de 100. Cuanto más alto es el IQ menos personas hay que lo obtengan. Lo mismo ocurre cuanto más bajo es el IQ obtenido en los tests.

La misma gráfica se obtiene cuando se representan otras magnitudes como: la altura de las personas, el efecto de un fármaco en la población, el consumo de un cierto producto... Es muy utilizada en estudios estadísticos.

La gráfica anterior tiene la siguiente expresión:

De esa expresión nos quedamos sólo con la idea de que: la x es la magnitud que se representa en el eje x, f(x) en el eje y... Y que e está presente. Es conocida como la función de Gauss.

• Desde los comienzos el número e está ligado al mundo financiero. Así, en el siglo XVII se preguntaron cómo aumentaría un capital C0 al invertirlo a un interés compuesto r, de manera que los intereses se fuesen acumulando al capital inicial cada n plazos cada año. La expresión matemática que da cuenta de ese capital acumulado al cabo de t años es:

Si los intereses se van acumulando cada mes, n sería 12; si lo hacen cada día sería 365, si es cada hora 8760 (horas que tiene un año) y así sucesivamente. Precisamente, a partir de aquí se obtiene el número e:

Otras definiciones de e se pueden encontrar, clicando simplemente en la Wikipedia. En el vídeo que hay al final de la entrada se exponen también con música dichas definiciones.

LA EXPRESIÓN MÁS BELLA

En Matemáticas e es un número con "prestigio". Al igual que pi es un número especial en geometría, i lo es en Análisis Complejo, e lo es en Cálculo. En Matemáticas se dice que la siguiente relación, encontrada por Euler (1707-1783), puede ser si no la relación más bella, una de las más bellas:

A lo mejor nadie lo ha hecho, aunque, como dijo el torero:
"hay gente pa to"
Imagen de Mathematics en Facebook

Ya que con ella se relacionan cinco números emblemáticos: e, i, pi, 1 y 0. Euler fue quien bautizó al número con la letra e. No es el hecho por el que se ha hecho famoso, desde luego, ni siquiera lo más importante que ha hecho con este número, pero anteriormente a él, el nombre se designó con otras letras o, simplemente, no se le designó. Ah... Euler fue también el primero en demostrar que e es irracional.

La expresión anterior viene de que el número e está estrechamente ligado a los números complejos:

Pero eso es adentrarse en otra historia.
Para terminar, dejo este video encontrado en youtube. Tengo canciones a pi, videos de phi... Así que este debe estar. Es curioso los vídeos que se llegan a hacer.

Rational and irrational numbers

Es una pena que esté en inglés, aunque lo bueno es que el inglés se sigue bien... Eso creo y mi nivel no es alto. Explica breve, pero claramente lo que son números racionales e irracionales, además de demostrar que la raíz de 2 es irracional (también en Revolución de los números irracionales en este blog), así como de la raíz de 3 y raíz cúbica de 3)

Más vídeos por el estilo, con el Prof. Schmohawk aquí. Hay sobre distintos temas: desde operaciones con números enteros hasta algo de Álgebra.

Los huesos de Napier como calculadora

La habilidad para hacer cálculos no la tiene todo el mundo, sobre todo, cuando se trata de números con muchas cifras. Calcular ha sido un quebradero de cabeza a lo largo de la historia, ya que conforme la sociedad y la ciencia han ido avanzando han necesitado cálculos cada vez más engorrosos y lentos, con el riesgo, además, de cometer errores. En el siglo XVII se produce la “revolución científica” y comenzaron a ser necesarios instrumentos mecánicos para aliviar y mejorar la tarea de calcular.

En este contexto, John Napier, además de descubrir y acuñar el término de logaritmo, inventó lo que se llama los “huesos de Napier” (valga la redundancia), utilizados en algunos lugares hasta principios del siglo XX.

Huesos de Napier junto a un libro de logaritmos
Imagen de http://zonadepruebas.org/backup/modules/smartsection/item.php?itemid=1083

Las columnas de la tabla pueden separarse y cogerse por separado.

Imagen de http://www.xtimeline.com/evt/view.aspx?id=887968

Si nos fijamos, en la columna del “2” aparece la tabla del “2” hasta el nueve; en la columna del “3” aparece la tabla del “3” y así sucesivamente. Además, si un número tiene dos cifras, estas aparecen separadas por una barra inclinada.

• Si queremos multiplicar, por ejemplo, 65.421 · 5, nos fijamos en las columnas del 6, 5, 4, 2 y 1 y en la fila del 5. Nos cogemos los números de la columna que aparecen en dicha fila:

3 / 0    2 / 5    2 / 0    1 / 0    0 / 5

Sumamos los números que no están separados por la barra inclinada y que son de distintas columnas (sombreados en rosa). Los extremos, los dejamos igual:

32.7105

Y este es el resultado de la multiplicación, que podemos comprobar con la calculadora.

• Si se quiere multiplicar por números de varias cifras, ejm: 65421 · 537, hacemos el mismo procedimiento anterior con las filas del 5, del 3 y del 7, escribiendo las cifras de manera que en la segunda fila (la del 3) las barras oblicuas coincidan:

3 / 0      2 / 5      2 / 0     1 / 0      0 / 5

                      1 / 8      1 / 5      1 / 2     0 / 6      0 / 3

                                            4 / 2     3 / 5      2 / 8      1 / 4      0 / 7

Ahora sumamos todos los números que estén entre las barras inclinadas:

3 / 3 / 20 / 12 / 9 / 20 / 7 / 7

Ya casi está el resultado. El 7 del extremo derecho son las unidades del resultado, las decenas son el 7 anterior. El siguiente número es el 20: dejamos el 0 de la unidades y el otro lo pasamos sumando a la casilla anterior. Lo mismo hacemos con el 12:

3 / 3 / 20+1 / 2 / 9+2 / 0 / 7 / 7

Es decir:

3 / 3 / 21 / 2 / 11 / 0 / 7 / 7

Y repetimos el proceso:

3 / 3+2 / 1 / 2+1 / 1 / 0 / 7 / 7

El resultado es:

35.131.077

En realidad es el mismo método que aprendimos en el cole para hacerlas con lápiz y papel, solo que Napier se las ingenió para que fuese más rápido y, aunque él y cualquiera que utilizase sus “huesos” se sabía las tablas de multiplicar, la verdad es que no había ni que sabérselas... Total una calculadora de bolsillo de la época.

John Napier: un caballero oscuro

Pero, ¿de dónde procede la palabra "logaritmo"? Esta palabra procede del griego (logos significa razón     y arithmos números) y significa "número de la razón" (la razón es la fracción de dos números) y fue utilizada por primera vez por el escocés John Napier (1550-1617). De todos o casi todos los personajes se suele resaltar algún rasgo de su personalidad o contar alguna anécdota y este no va a ser menos.
En primer lugar hay diversas versiones sobre su nombre: Napeir, Nepair, Nepeir, Neper, Napare... Pero curiosamente, él nunca utilizó Napier.

John Napier (no he conseguido ninguna imagen con un gallo negro)

Procedía de una familia noble y a los 13 años ingresó en la Universidad de St. Andrews. Sin embargo no terminó allí sus estudios y estuvo viajando por Europa. No se sabe dónde exactamente, pero cuando volvió a los 21 años demostró tener conocimientos de griego.

Castillo de Merchiston, donde vivió su infancia
Imagen de http://digital.nls.uk

Torre de Merchiston hoy en día
Imagen de http://digital.nls.uk

Construyó un castillo en Gartness, en el que pasaba encerrado gran parte del tiempo y en las pocas ocasiones que aparecía en público lo hacía vestido de negro, llevando consigo un gallo, también negro, sobre el hombro. No es raro que por aquél entonces, en una sociedad supersticiosa, se ganara cierta fama de hechicero. Aunque lo cierto es que demostró ser inventor, ya que en sus propiedades investigó cómo mejorar las cosechas con abonos, artilugios para sacar agua de los pozos y mejorar el trabajo y rendimiento de sus posesiones. En ese castillo se dedicó también a estudiar los evangelios (era teólogo). Se implicó en la religión y política de su país y fue anticatólico. Llegó a conclusiones como que el Papa de Roma era el anticristo, escribiendo un libro sobre ello, donde sugería incluso al mismo rey de Escocia que  "limpiara de papistas y ateistas su casa, familia y corte"... Dicho libro se tradujo a varios idiomas y Napier pensó que, de conseguir alguna fama, sería por esto. Después siguió inventando, pero esta vez artilugios para defender a Escocia de Felipe de España. Uno de dichos inventos se experimentó allí mismo y con éxito: tanto que mataron parte del ganado.

Por otro lado, también pronosticó que el mundo se acabaría entre 1688 y 1700 (supongo que no sabría de la profecía de los mayas o decidió hacer sus propias especulaciones y cálculos). Además de ser aficionado a las Matemáticas, también lo era a la astrología.

John Briggs

En fin, todo un personaje, que finalmente no se hizo famoso por lo que él pensó. Para finalizar, vuelvo su trabajo con los logaritmos. Mejor, al momento en que Henry Briggs (1561-1630) fue a visitarle a su castillo para conocerle personalmente y discutir sobre logaritmos. En SIGMA, el Mundo de las Matemáticas, aparece relatado el primer encuentro entre Napier y Briggs:
"no podía tener tranquilidad en sí, hasta que no hubiera visto a la noble persona de cuya sola invención éstos eran... Mr. Briggs señala un día determinado para encontrarse en Edimburgo; pero falló en su propósito, de modo que Lord Napier temía que no viniera. Sucedió que un día, cuando John Marr y Lord Napier estaban hablando de Mr. Briggs: 'Ah, John -decía Merchiston-, ahora Mr. Briggs no vendrá', en el mismo instante alguien llama a la puerta; John Marr se apresuró a bajar y resultó ser, para su gran alegría, Mr. Briggs. Conduce a Mr. Briggs a la habitación de Milord, donde estuvieron casi un cuarto de hora, cada uno contemplando al otro con admiración, antes de que se dijera ni una palabra; finalmente, Mr. Briggs comenzó: 'Milord, he emprendido este largo viaje para ver a vuestra persona, y para saber mediante qué mecanismo de inventiva o ingenio pensásteis por primera vez en esta ayuda tan excelente para la astronomía, a saber, los logaritmos. Pero, Milord, me extraña que, habiéndolos descubierto vos, nadie los haya descubierto antes, cuando ahora que los conocemos parece tan fácil.' "

Napier fue enterrado en la iglesia de St Cuthbert, Edinburgo.

Cementerio de la iglesia St Cuthbert.

Bibliografía:

• "Los números primos. Un largo camino al infinito". Enrique Gracián. Ed. RBA
• "Apuntes de historia de las matemáticas" Vol 2. Historia de los logaritmos. Francisco Javier Tapia Moreno.
• http://history-computer.com/People/NapiersBio.html

Historia de los logaritmos

En la entrada anterior se definió el logaritmo y se expuso algunos ejemplos de sus aplicaciones. Sin embargo,  ninguno de ellos fue el motivo por el cual se descubrieron. Aunque suene chocante, los logaritmos se descubrieron como una estrategia para facilitar la multiplicación, división y raíces de números con varios decimales.

Triángulo en una superficie esférica
Imagen tomada de Wikipedia

El fundador de la teoría de los logaritmos y el que les dió ese nombre fue John Napier (1550-1617). Napier, además de aficionado a las matemáticas, estaba interesado en la astrología. Esto le llevó a investigar las  propiedades de las figuras geométricas sobre una superficie esféricas, obteniendo importantes resultados en la resolución de triángulos esféricos. Sus estudios acarreaban cálculos trigonométricos, los cuales implican números con muchas cifras decimales. Tanto es así, que se convirtió en una prioridad buscar algún algoritmo que facilitara los cálculos y ahorrara tiempo.

Napier se dió cuenta de algo que ya conocía Arquímedes (287 a.C.-id., 212 a.C) y después Michel Stifel (1487-1567):

1	2	3	4	5	6	7
2	4	8	16	32	64	128

En la primera fila de la siguiente tabla se tiene números naturales y en la segunda, cada número es 2 elevado al número de la primera fila.

Para multiplicar dos números de la segunda fila: ejm. 8·16, podemos sumar los dos números correspondientes de la primera fila: 3+4 = 7 y luego buscar el número asociado en la segunda fila: 128. De esta manera, en lugar de hacer una multiplicación, se realiza una suma, lo que es más cómodo cuando en lugar de tener números tan manejables tenemos otros con muchos decimales.

Parece ser que Stifel se dio cuenta del juego que podía dar una tabla de números como la anterior, sin embargo no profundizó más en ello. Por otro lado,carecía aún de una herramienta: las fracciones decimales, que no aparecieron hasta después del año 1600 y gracias a las cuales los logaritmos fueron tan útiles.

John Napier

En cambio, Napier vio en la idea de Stifel una solución a su problema. Bastaba elegir una tabla adecuada a los números que debía utilizar. De esta manera, la segunda fila de la tabla la construyó con los senos de ángulos entre 0º y 90º y de tal manera que cada uno de los números era el anterior multiplicado por 0.9999999, y los llamó antilogaritmos. A los números de la primera fila los llamó logaritmos (los exponentes de la base para obtener la segunda fila) En 1614 publicó Mirifici logarithmorum canonis descriptio o “descripción de la maravillosa regla de los logaritmos” y hasta dos años después de su muerte no se publicó cómo fueron construidas sus tablas en la obra Mirifici logarithmorum canonis construccio (“Construcción de la maravillosa regla de los logaritmos"). Hay que señalar que Napier no concibió en los logaritmos como lo hacemos hoy en día (en resumen, representa un exponente. algo hasta simple), sino que fue algo bastante más complejo:
"El logaritmo de un seno dado es el número que aumenta aritméticamente con la misma velocidad a la que el seno ha comenzado a disminuir desde el seno dado proporcionalmente a su longitud"

Como puede observarse, esa definición se basa en cálculos trigonómétricos y en algún tipo de movimiento... Y asusta, así que lo dejamos así. Los comienzos pueden ser duros y no es raro que algunas ideas se vayan simplificando con el paso del tiempo.

COLABORACIONES FRUCTÍFERAS

John Briggs
Imagen de:
 http://dhthmates.wikispaces.com  

La obra de Naiper no pasó desapercibida. Cuando publicó el primer libro John Briggs (1561-1630) se dio cuenta en seguida del gran potencial de la idea de Napier. Los dos se vieron antes de la muerte de este y discutieron la posibilidad de facilitar aún más las cosas si utilizaban 10 como la base de los logaritmos, además de la posibilidad de que 10⁰ = 1, es decir, log 1 =0 (algo que traía de cabeza a Napier). Sin embargo, Napier, que ya estaba enfermo no quiso modificar todo lo que ya tenía hecho y Briggs publicó las primeras tablas de logaritmos decimales en 1618 (un año después de la muerte de Napier). En ellas aparecen los logaritmos decimales de los números de 1 a 1000 ¡con una precisión de 14 decimales! Años más tarde publicaría los logaritmos decimales de los números de 1 a 20000 y de 90000 a 100000 con la misma precisión.
A Briggs le debemos entonces los logaritmos decimales. El nombre de logaritmo neperiano (base e) es en honor de Napier. Aunque, ni siquiera llamaba al número "e" por su nombre, ya que este ni siquiera estaba "bautizado" en aquella época, aún estaba "en pañales"... Mejor, sin identificar.  Aún así, de sus cálculos se deduce que la base de sus logaritmos era un número cercano a 1/e y que hoy escribimos como:

Sí... Uno piensa que vaya número rebuscado para la base de un logaritmo... Pero se estaba empezando y ese sería el que él estimó mejor para sus cálculos.

Joost Bürgi
 http://.educastur.princast.es

HISTORIA PARALELA: NO ESTAR EN EL SITIO Y MOMENTO OPORTUNOS

Sin embargo, existió otro personaje Jobst Bürgi (1552-1632), un relojero y constructor de instrumentos suizos que utilizó como base de los logaritmos un número próximo a e (aunque parece ser que no fue muy consciente de ello): 
Según parece llegó a la idea de logaritmo de forma independiente  incluso antes que Napier, pero no publicó su trabajo hasta 1620 (a sugerencia del mismo Kepler) en Praga y, además, en período de guerra, por lo que no se propagó.

¿CÓMO CALCULAR TANTOS LOGARITMOS?

Ahora bien, ¿cómo elaborar las tablas para que realmente sean útiles? Briggs miraba las tablas de logaritmos y antilogaritmos como dos progresiones de números: una aritmética (la primera fila, la de los logaritmos) y una geométrica (la segunda fila, la de los antilogarimtos). Relacionando ambas progresiones, le resultaba más fácil aproximar los valores de los logaritmos. Aún así, se seguían necesitando muchos cálculos y tiempo para elaborar las tablas. A primera vista parece que con el objetivo de ahorrar trabajo, se llega a lo contrario: más trabajo. Pero el esfuerzo merecía la pena, ya que aliviaría la tarea engorrosa en múltiples situaciones. Por otro lado en el siglo XVII se descubrió un gran recurso para calcular dichos logaritmos: los desarrollos en serie. Estos consisten en que el logaritmo (al igual que innumerables funciones, por no profundizar más) se puede expresar como un polinomio con infinitos términos:

Expresión que es válida siempre y cuando: -1< x < 1 ó sea igual a 1. De esta forma se pueden calcular los valores de los logaritmos decimales de números con tanta precisión como sea necesario (cuantos más sumandos añadamos, más precisión tendremos)

ÉXITO DE LOS LOGARITMOS

La publicación de las tablas de Briggs fueron todo un éxito y pronto se editaron en varios países. Como dijo Laplace: "Gracias a sus trabajos (de Napier) se alargó al doble la vida de los astrónomos"  Pero no sólo facilitó la vida a los astrónomos o a los científicos, sino a los navegantes. En aquella época para guiarse en el mar se ayudaban la posición de los astros y la elaboración de las cartas astronómicas necesitaban largos y engorrosos cálculos (de nuevo trigonométricos), por lo que las tablas logarítmicas fueron un recurso muy práctico. Los viajes se podían planificar mejor, elegir la mejor ruta y evitar que las mercancías se estropearan, evitar toparse con el enemigo o pasar muy cerca de él...
Los navegantes (militares o no) no fueron los únicos en agradecer la aparición de los logaritmos. Aunque no se necesitaba números tan engorrosos como en la navegación, la actividad de los bancos en los siglos XVI y XVII ya necesitaba de operaciones más enrevesadas que un par de sumas o restas. Por ejemplo, al pedir un préstamo P a devolver en n plazos, de interés "i" para cada uno de ellos, el dinero que se debe abonar en cada plazo es:

Y con el maldito dinero no se juega, hay que calcular cantidades exactas a devolver, en cuántos plazos es mejor pagar...Así que los bancos acogieron a los logaritmos con los brazos abiertos.
Otro campo donde se comenzó a aplicar las tablas logarítmicas fue en agrimensura. Con la aparición del pequeño propietario había que realizar planos de propiedades, para lo cual había que medir distancias y ángulos y, por tanto, realizar cálculos trigonométricos.
Por supuesto, la ingeniería, que también necesitaba de cálculos, los acogió rápidamente. La primera vez que aparecen mencionados en un libro en español fue en 1637, cuando aparece en el prólogo de un ingeniero hidráulico y profesor de fortificación: Luis Carduchi.

Portada de:
"Elementos geometricos de Euclides" 
de Luis Carduchi
Imagen de http://divulgamat2.ehu.es

Hasta bien entrado el siglo XX, con la aparición de las calculadoras de bolsillo, los estudiantes tenían como herramienta de cálculo las famosas tablas trigonométricas (benditas calculadoras):

Tabla logarítmica de 1950
Imagen tomada de www.todocolección.net

Portada de tabla logarítmica de 1908
Imagen de: http://catedu.es

Bibliografía:

• http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=12619&limitstart=2
• "Apuntes de historia de las matemáticas" Vol 2. Historia de los logaritmos. Francisco Javier Tapia Moreno.
• "Logaritmos, ordenadores y carreras de caballos". Vicente Trigo