¿Qué distancia hay hasta el Sol? ¿Qué tamaño tiene?

Después de la Luna, el siguiente en la lista es el Sol. Pero para eso, dejamos a Eratóstenes y entra en escena Aristarco.

Aristarco en un óleo de Domenico Fetti

Aristarco de Samos (310 a.C.-230 a.C.) fue un astrónomo y matemático griego y fue el primero en dar un modelo heliocéntrico del Sistema Solar, situando al Sol, en lugar de la Tierra,  en el centro del universo conocido. Aún así, no tuvo seguidores en su época, cuando se creía en el modelo geocéntrico. No fue hasta 1500, 1800 años después, que Copérnico retomó y perfeccionó su modelo.

Que la Luna no emite luz, sino que la refleja del Sol, tampoco era una idea de Aristarco, sino de Anaxágoras. Sin embargo, él la elaboró algo más. Se le ocurrió que cuando la Luna está en fase media la Tierra, la Luna y el Sol forman un triángulo rectángulo como en la figura:

Aristarco sabía la distancia Tierra-Luna y se empeñó en medir con la máxima precisión que pudo el ángulo que forman las líneas Tierra-Luna y Tierra-Sol, obteniendo 87º. Una vez esto, la distancia Tierra-Sol se despeja fácilmente sabiendo el coseno del ángulo:

De donde: d_T-S = 6114343,23 km

Desde luego este no es el dato real: d_T-S = 150.000.000 km. Y es que, un pequeño error en el ángulo implica una variación en el coseno. El ángulo anterior vale en realidad: 89,95º. Dado que vamos a dividir un número grande como 320.000 km entre un número cercano a 0, esa pequeña variación en el ángulo de casi 3º ocasiona la gran diferencia en el resultado.

A pesar de todo, la estimación de Aristarco fue todo un logro. Al igual que Erastótenes calculó por primera vez esa distancia, empleó las matemáticas y el método científico en objetos que eran considerados dioses.

Una vez conocida la distancia Tierra-Sol, se puede recurrir de nuevo a los eclipses para averiguar el tamaño de nuestra estrella. Por supuesto, el eclipse, en este caso, es solar y total. En este caso, la disposición de los astros sería como en la figura:

El eclipse solar total se produce cuando la Luna se interpone justo entre nosotros y el Sol

Los triángulos grande (hasta el Sol) y el pequeño (hasta la Luna) tienen uno de sus vértices en el observador de la Tierra y son semejantes, ya que todos sus ángulos son iguales. Por tanto, la razón es la misma entre todos sus lados:

De donde se obtiene muy fácilmente el radio del Sol: R_S = 748125 km.
En realidad, el radio del sol es algo menor (prácticamente 700000 km), pero ha de tenerse en cuenta que a las distancias al Sol y a la Luna anteriores habría que haberle restado el radio de la Tierra. Dado que las distancias obtenidas por Aristarco contenían mayor error, obtuvo un tamaño también distinto, pero lo importante fue el método y el enorme ingenio que usó.

A continuación dejo un vídeo donde se explica de manera muy clara algunas cuestiones muy frecuentes sobre los eclipses.

Bibliografía:

• "Big Bang". Simon Sing. Ed. Montesinos Editor, S.A.
•  http://www.biografiasyvidas.com/biografia/a/aristarco.htm
• http://museovirtual.csic.es/salas/universo/universo11.htm 

Eratóstenes 3ª parte: ¿A qué distancia está la Luna?

Eratóstenes consiguió estimar la distancia a la que se encuentra nuestro satélite. ¿Cómo? Con ayuda de una uña de su pulgar y los datos anteriores y, por supuesto, de su ingenio.

Es posible tapar la Luna llena con una uña extendiendo el brazo. Obtenemos entonces dos triángulos como los del dibujo:

Ambos triángulos, el grande y el pequeño son semejantes, ya que sus ángulos tienen el mismo valor. Por tanto, la razón entre sus lados debe tener el mismo valor.

Donde D_L es el diámetro de la Luna,, d_L la distancia Tierra-Luna, D_U es la altura de la uña y d_B la longitud de nuestro brazo. 

Podemos medir la longitud del brazo y la uña que se utilizan y sustituirlos en la expresión de arriba. Como el diámetro de la Luna ya es conocido, se despejaría fácilmente el valor de d_L. En todo caso, podemos partir de que la proporción entre la altura de la uña y la longitud del brazo es 1 / 100, con lo que:

La distancia Tierra-Luna es 100 veces mayor que su diámetro: d_L = 319200 km.

Una vez terminada "la misión de la luna", queda la del Sol...

Bibliografía:

• "Big Bang". Simon Singh. Montesinos Editor, S.A.

Eratóstenes 2º parte: ¿Qué tamaño tiene la Luna?

La humanidad lleva viendo la luna iluminada desde siempre... Y ya en la antigüedad, algunos se preguntaban sobre su tamaño y la distancia a la que está, pero no podían completar sus cálculos. Eratóstenes tenía ya el dato que faltaba. ¿Cómo lo utiĺizó?

Un eclipse lunar se produce cuando la Tierra se interpone entre el Sol y la Luna, de manera que la sombra de la Tierra la oscurece. Ese momento es idóneo para comparar (aproximadamente) el tamaño de ambas, midiendo el tiempo que la Luna tarda en cruzar la sombra de la Tierra. 

Como se ve en la figura, la Luna tarda 50 minutos en ir desde el punto en que toca la sombra hasta el punto en que queda completamente eclipsada. En otras palabras, el tamaño de la Luna y el tiempo que tarda en atravesar la sombra son directamente proporcionales. Si el eclipse dura 200 minutos, esto significa que la Tierra es 4 veces más grande que la Luna. Y por tanto:

Donde "D" representa el diámetro de la Luna y de la Tierra. Simplificando la fracción anterior, se tiene que el diámetro de la Luna es la cuarta parte del diámetro de la tierra.

Y resulta que 

El dibujo de arriba es sólo un esquema, no se ha tenido en cuenta los tamaños relativos de los tres astros, ni se ha dibujado bien la zona de sombra, ni tan siquiera la de penumbra... Solo se ha considerado adecuado para tener una explicación fácil y una aproximación.

Este método se podría poner en práctica en un eclipse lunar total, realizando medidas precisas del tiempo en que la Luna entra completamente en la sombra de la Tierra y de la duración del eclipse.
Bibliografía:

• "Big Bang". Simon Singh. Montesinos Editor, S.A.

Cómo calcular el radio de la Tierra: el INGENIO de Eratóstenes

La mayoría de la gente diría que creer que el Universo gira alrededor de la Tierra es algo absurdo... Y más aún, creer que la Tierra es plana. Es imposible no haber visto nunca alguna imagen captada desde el espacio exterior de nuestro planeta, flotando en un vacío negro... Y a todos nos han explicado que la existencia del día y la noche se debe a que la Tierra gira alrededor de sí misma y que por eso, mientras en unos lugares es de noche, en otros es de día. También nos han explicado,  al menos alguna vez, que un año es la cantidad de tiempo que la Tierra tarda en dar una vuelta alrededor del Sol... Y que nuestro Sol es  solo una más de la infinidad de estrellas que hay en el Universo. Y quizás muchos puedan pensar que todo eso es relativamente moderno, porque hace 2000 años (y también hace 200) no se tenían cámaras, ni siquiera telescopios para poder saberlo, ni tantos libros, revistas, internet, ni cables, ni pilas... Quizá podamos pensar que debido a eso, en la antigüedad la humanidad vivía en la más profunda ignorancia en ese aspecto. Pero no fue así.

Eratóstenes (276 a.C-194 a.C)

En la Antigua Grecia, hace 2500 años más o menos, ya fueron alimentando la idea de que la Tierra no era plana, tal y como es natural intuir si no se observa con algo de detalle  lo que nos rodea. Cuando los barcos se iban mar adentro, se fijaron en que toda la imagen del barco no se iba haciendo cada vez más pequeña hasta que desaparecía sino que primero desaparecía el casco del barco, la parte más grande, y por último el mástil con las velas. Esto, junto con el hecho de ver el Sol y la Luna circulares, pudo alimentar la idea en los filósofos de que la Tierra, al igual que el Sol y la Luna, era una esferas: la figura geométrica más perfecta.  Partiendo de ahí, sin ningún telescopio, ni ningún aparato sofisticado que podamos tener hoy en día, Eratóstenes (276 a.C.) consiguió averiguar por primera vez: el radio de la Tierra, el tamaño de la Luna  y del Sol y la distancia a la que éstos están de la Tierra.

CÁLCULO DEL RADIO DE LA TIERRA

La estimación que hizo Eratóstenes del radio de la Tierra fue, sencillamente, genial. Partiendo de que la Tierra tenía forma de esfera, los rayos solares inciden al mediodía en las ciudades de Alejandría y Syene como aparece en la figura de abajo (obviamente, el ángulo de 7,2º está muy exagerado en el dibujo).

Eratóstenes observó que al mediodía del 21 de Junio (solsticio de verano), un pozo situado en Syene era iluminado completamente hasta el fondo, mientras que a la misma hora, en Alejandría, no ocurría lo mismo.  Así, en la misma fecha y la misma hora, averiguó el ángulo que formaba un palo  clavado en el suelo con los rayos solares a esa hora, resultando ser 7,2º. Este ángulo, como se ve en el dibujo, es el mismo que forma el radio de la Tierra en Alejandría y el radio de la Tierra en Syene.

 La longitud de un arco y el ángulo que encierra son magnitudes directamente proporcionales. Por tanto, la razón entre dos ángulos es igual a la razón entre las distancias (longitudes de arco). Así, teniendo en cuenta que cuando se da la vuelta al planeta giramos 360º y recorremos la longitud de un círculo del mismo radio:

Donde 902,4 km er la distancia medida entre Syene y Alejandría.

De ahí se despeja que L = 46250 km! , el la longitud de un meridiano terrestre. Como se sabía por otro lado: L = 2πR, se despeja fácilmente:

¡R= 7374 km!

El valor real es: 6385 km, por lo que Eratóstenes averiguó el radio de la Tierra con un error absoluto de: 989 km.

El error relativo sería entonces:

, es decir: cometió un error del 15%.

En una época en la que no todo el mundo creía que la Tierra fuese esférica, hace más de 2000 años, alguien, sólo con la ayuda de su ingenio y sus observaciones calculó el radio del planeta científicamente. Hasta ese momento, quienes creyeran que la Tierra es “redonda” no tenían ni idea de cuánto de grande era, igual podría tener 2000 que 200000 km de radio. Ni siquiera tenía calculadora... Solo un palo, por tener una sombra fácil de medir. Aunque nos podemos preguntar, ¿cómo midió la distancia entre las ciudades: 902 km? De la manera más elemental: le encargó a alguien que fuese de una ciudad a otra andando en línea recta (o lo más recta posible) y que contase los pasos. Originalmente, la distancia se midió en “estadios”, es decir, la longitud del estadio de Olimpia, ya que entonces no existía la unidad del “metro”. El “medidor” dijo recorrer, aproximadamente, 5000 estadios. Sabiendo que el estadio medía 185 m de longitud, se tiene obtienen los 902 km.

El error, que no es tan grande, sobre todo teniendo en cuenta las circunstancias, pudo ser debido a diferentes factores razonables: error al medir el ángulo entre el palo y los rayos solares, error al medir la distancia entre Syene y Alejandría, error al determinar el momento exacto del mediodía durante el solsticio (cuando el fondo del pozo estaba iluminado)...
A continuación dejo un vídeo, donde el gran Carl Sagan también explicó esto en su serie Cosmos:

Pero aquí no terminó su tarea...

Bibliografía:

• "Big Bang". Simon Sing. Montesinos Editor, S.A.
• http://nacc.upc.es/nacc-libro/node38.html

• http://www.windows2universe.org/people/ancient_epoch/plato.html&edu=high&lang=sp

Goldbach y la suma de dos primos

Recuerdo, como siempre se suele hacer, aunque me parece que todo el mundo se acuerda, que un número primo es todo aquel número que sólo puede dividirse por 1 y por él mismo.

En principio, uno puede preguntarse qué... demonios tiene eso de importante para estar dándole tantas vueltas al tema. Como respuesta a esta pregunta, recomiendo que se vuelva a la entrada "¿Para qué conocer los números primos?". Ahí encontrarás, además de razones puramente matemáticas, otra razón puramente económica. Eso sí, la recompensa económica tiene que ser para los que no estén realmente desesperados (o sí...) porque para el problemita de encontrar la expresión general de los números primos parece que hay que armarse de paciencia y de fuerza.

Christian Goldbach

Lo mismo ocurre para otro problema referente a los números primos: la conjetura de Goldbach. Goldbach fue un matemático prusiano (1690-1764) que envió por carta al gran matemático Euler la siguiente conjetura:

“Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos”

Lo que está claro es que si no contamos el 2, todos los primos son impares y, por tanto, al sumar dos de ellos, el resultado va a ser par. También es verdad que cualquier número par lo podemos escribir como suma de dos números impares... Pero eso no significa que se puedan escribir como suma de dos primos.

¿Por qué se llama a tal cosa “conjetura”? Porque aún no se ha demostrado... Y hasta que no se demuestre, no dejará de ser algo que parece que se cumple, pero que no se tiene la seguridad de que funcione en todos los casos, ni de por qué funciona.

Un mes después de recibir la carta, Euler contestó a Goldbach que había comprobado que la conjetura era cierta hasta el número 1000:

4 =2 + 2 ; 6 = 3 + 3 ; 8 = 3 + 5 ; 10 = 3 + 7 ; 12 = 5 + 7 ...

Y así hasta hacerlo con el 1000. No satisfecho, tres meses y medio más tarde volvió a contestarle que lo había probado con éxito hasta el número 2500. Pero este método para comprobar que lo que Goldbach dijo era cierto era totalmente inviable... Para empezar, hay infinitos números pares... Sólo con esto, sería suficiente para comprender que llevaría, literalmente, una eternidad comprobarlo número por número. Aún así, también hay que añadir, que no conocemos todos los números primos... Así que, si para números muy grandes, necesitamos números primos muy grandes... Una razón de más para buscar otra estrategia.

¿Qué otra estrategia seguir para demostrar la conjetura de Goldbach? Eso quisieran saber muchos. No deja de chocar el hecho de que un enunciado tan sencillo, que todo el mundo “no matemático” puede comprender, sea uno de los problemas más importantes y difíciles de las Matemáticas hoy en día.

Mientras algunos le dan vueltas a la cabeza, hoy en día se le encargan a los ordenadores que hagan la tediosa tarea de seguir comprobando la conjetura... El récord parece ser que está en el número 1.000.000.000.000.000.000.
Marcus du Sautoy  dice que los números primos son como los átomos que componen a las moléculas que serían el resto de los números. Esta comparación de átomos y números primos se basa en la "descomposición en factores primos" que se enseña en 1º ESO. Por ejemplo:

Con la conjetura de Goldbach, los números pares volverían a ser "moléculas" diatómicas... Eso sí, el "enlace" entre los "átomos-primos" sería en este caso la operación suma y esta "descomposición" no siempre es única:

24 = 11+13

90 = 7+ 83 = 43 + 47

Como curiosidad, la conjetura de Goldbach es mencionada en la película: "La verdad oculta" (2005), que trata de una joven matemática, hija también de un matemático. El padre (Anthony Hopkins) muere y a la hija (Gwyneth Paltrow) le preocupa haber heredado, no sólo su gusto y habilidad para las Matemáticas, sino su enfermedad mental. La conjetura de Goldbach también aparece en la película española "La habitación de Fermat" (2007).

Bibliografía:

1. “Los números primos. Un largo camino al infinito”. Enrique Cracián. Ediciones RBA.
2.  http://es.wikipedia.org/wiki/Conjetura_de_Goldbach
3. http://buscabiografias.com/bios/biografia/verDetalle/8558/Christian%20Goldbach