Dado que la diagonal divide al cuadrado en dos triángulos rectángulos, Hipaso aplicó el teorema para averiguar su valor:
(Hoy en día se simboliza así al número que al elevarlo al cuadrado da como resultado: 2, pero no se expresaba así en aquella época)
Hasta ahí, todo marchaba muy bien... Pero la palabra
hipotenusa significaba algo así como
" lo que se estira a lo largo de" y era bastante fácil de dibujar a partir de los catetos. Así pues era razonable imaginar, y era del todo lógico en el pensamiento pitagórico, que
la hipotenusa y los dos catetos pudiesen medirse con una misma unidad. Es decir, que fuesen
conmensurables o racionales:
y, por tanto,
debía de ser racional.
Se cuenta que Hipaso intuía que eso no era posible, rompiendo con la imagen que la escuela pitagórica tenía de los números y del propio universo. La escuela tenía unas normas muy estrictas, entre ellas, el que sus miembros debían mantener en secreto sus conocimientos a los que no pertenecían a ella. Quizá por ello,
Hipaso terminó siendo ahogado en el mar, sentenciado por sus propios compañeros. De todas formas, parece ser que es algo difícil de saber y existen varias versiones sobre las causas de su muerte.
Sea como fuese, algo que puede parecer a mucha gente totalmente intrascendente, conmocionó a la comunidad pitagórica y revolucionó las Matemáticas. Los números y la base del Universo era bastante más compleja que la visión que se tenía entonces, ¡existían números de los que era imposible averiguar todas sus cifras decimales! y no eran una repetición de una unidad como los demás.
Demostración de la irracionalidad de
Existen muchas demostraciones de que
no puede ser una fracción. Quizá la más simple es la que ya se hizo ya
en tiempos de Pitágoras, aunque no se sabe quien es el autor, y que es recogida por Euclides 300 años a.C. (Ver también
Rational and irrational numbers en este blog) Es bastante sencilla y utiliza la estrategia de "reducción al absurdo", es decir, suponemos que algo es cierto y si llegamos de manera lógica a algo que no tiene sentido, deducimos que la afirmación inicial es falsa.
Así, si
suponemos que es racional, se podrá expresar como una
fracción 
. Suponemos que tal fracción es
irreducible y, por tanto,
m y
n no tienen factores comunes. Tendremos, lógicamente entonces que:
Eso implica que:
, es decir, que
es un número par, lo que implica que
m también es par:
. Por tanto:
Despejando de ahí
, se tiene que también es par:
, de donde
n también ha de ser par.
Pero hemos llegado a una conclusión absurda: m y n no pueden ser pares porque en ese caso la fracción
no puede ser irreducible, contrariamente a lo que supusimos al principio. Así pues,
partimos de una suposición errónea y
no es una fracción, es irracional. c.q.d.
De esta manera pasó a ser el primer número irracional de la historia y fue el único durante mucho tiempo. Hacia el 425 a.C se demostró también la irracionalidad de otros números: 
Teodoro de Cirene pasó a la historia, entre otras cosas, por dibujar la siguiente espiral donde quedan representados esos y otros números irracionales:
De manera que cada raíz se haya como la hipotenusa de un triángulo recto, comenzando por el que tiene los dos catetos iguales a 1. Cada hipotenusa pasa a ser uno de los catetos del triángulo siguiente.
Más adelante se demostró también la irracionalidad de los propios números
,
(el número de oro)... Pero lo más importante es que con el descubrimiento de estos números se descubrió al mismo tiempo que muchas de las
demostraciones geométricas que habían realizado los pitagóricos eran falsas. Por otro lado, al estar completo el conjunto de los números reales, se pudo desarrollar más adelante la Aritmética y el Álgebra, ya que los números
irracionales están estrechamente ligados con las
ecuaciones de segundo grado en adelante. Aunque esto se desarrollara muchos siglos después, sin los números irracionales no hubiese sido posible. No hay más que considerar el ejemplo tan sencillo:
Cuyas soluciones son:
. Sin los números irracionales, dicha ecuación no tendría solución y ningún número elevado al cuadrado daría como resultado 2. Pero bueno, también es verdad que en la escuela pitagórica no se resolvían este tipo de ecuaciones.
Y sin considerar todos los números que existen y sin las ecuaciones, ¿se hubiese podido llegar al desarrollo, no sólo matemático, sino tecnológico de hoy en día?
Llama la atención como a una escuela como la pitagórica, cuyos componentes perseguían el conseguir verdades universales a través del estudio les resultó tan difícil digerir uno de sus descubrimientos más importantes. ¿Por qué se les llamó números irracionales? Aún no sé si es porque no se pueden expresar mediante una razón (fracción en matemáticas) o porque se escapaban de la razón de los pitagóricos...
Hay que mencionar también que, de forma independiente, otras culturas también llegaron a la misma conclusión. Así, entre el año
800 a.C y el 500 a.C. en la
India, en el libro Sulba Sutras se escribió que la diagonal de un cuadrado de lado 1 y su diagonal no podían ser conmensurables. Lo que no se sabe, o yo no sé, es si en ese caso tal descubrimiento supuso una crisis como para los pitagóricos... O para Hipaso, si la leyenda es cierta.
Representación de
Si este número, como el resto de los irracionales, tienen infinitas cifras decimales, de manera que es imposible conocerlas todas... ¿Cómo representar estos números en la recta real, donde se representan todos los números, lo más aproximadamente posible? Pues se puede... Y precisamente
ayudándonos del cuadrado de donde surgió tal número y ayudándonos sólo de una regla y un compás. Para verlo, clica en el siguiente enlace, donde también se explica cómo representar otros irracionales, entre ellos, el número de oro.
... Hay infinitos números irracionales, como también hay infinitos de los otros números reales: los racionales. Es más si cogiésemos un número al azar de la recta real, la probabilidad de que fuese racional sería prácticamente 0. Sin embargo, la humanidad los tuvo que descubrir y parece ser que no fue fácil aceptarlos.
