viernes, 12 de agosto de 2011

La revolución de los números irracionales

Todos sabemos ya lo que son los números irracionales: tienen infinitas cifras decimales, de manera que es imposible escribirlas todas, y, además, no son números periódicos. Ejemplos de estos números son: los famosos números pi, phi, e... Como también la ... Hay infinitos números irracionales, como también hay infinitos de los otros números reales: los racionales. Es más si cogiésemos un número al azar de la recta real, la probabilidad de que fuese racional sería prácticamente 0. Sin embargo, la humanidad los tuvo que descubrir y parece ser que no fue fácil aceptarlos.
En la Antigua Grecia, los pitagóricos creían que el Universo estaba basado en los números. Según ellos, todo cuanto hay en él, incluso la música, tenía a los números como el ingrediente imprescindible. Pero aún había más: todos los números eran conmensurables. Esto significa que podían expresarse como una repetición natural de alguna unidad. Por ejemplo 3 es tres veces la unidad 1, lo mismo que 200 significa 200 veces el 1. Los números 3 y 2 son conmensurables porque si elegimos ahora como unidad a 0.5 (por ejemplo), el 3 es una repetición de 6 veces esa unidad y el 2 lo es 4 veces.

Esto implicaba que todos los números podrían expresarse mediante una fracción, es decir, que todos eran, como los llamamos hoy en día: racionales. Esto se ve fácilmente de la siguiente manera: si dos números x e y  son conmensurables y existe una unidad u, de manera que ambos son múltiplos de esa unidad:

Simplificando la fracción anterior, queda que x/y es una fracción. La división x/y será un número decimal exacto o uno periódico.
En este escenario, se descubrió el famoso teorema de Pitágoras: la hipotenusa de cualquier triángulo rectángulo podía calcularse como la suma de los cuadrados de los otros dos lados. Hipaso de Metaponto (nacido en 500 a.C, aprox.) era un miembro de la escuela pitagórica que se planteó entonces calcular la diagonal de un cuadrado de lado 1:
Dado que la diagonal divide al cuadrado en dos triángulos rectángulos, Hipaso aplicó el teorema para averiguar su valor:

(Hoy en día se simboliza así al número que al elevarlo al cuadrado da como resultado: 2, pero no se expresaba así en aquella época)
Hasta ahí, todo marchaba muy bien... Pero la palabra hipotenusa significaba algo así como " lo que se estira a lo largo de" y era bastante fácil de dibujar a partir de los catetos. Así pues era razonable imaginar, y era del todo lógico en el pensamiento pitagórico, que la hipotenusa y los dos catetos pudiesen medirse con una misma unidad. Es decir, que fuesen conmensurables o racionales:

y, por tanto, debía de ser racional.

Se cuenta que Hipaso intuía que eso no era posible, rompiendo con la imagen que la escuela pitagórica tenía de los números y del propio universo. La escuela tenía unas normas muy estrictas, entre ellas, el que sus miembros debían mantener en secreto sus conocimientos a los que no pertenecían a ella. Quizá por ello, Hipaso terminó siendo ahogado en el mar, sentenciado por sus propios compañeros. De todas formas, parece ser que es algo difícil de saber y existen varias versiones sobre las causas de su muerte.
Sea como fuese, algo que puede parecer a mucha gente totalmente intrascendente, conmocionó a la comunidad pitagórica y revolucionó las Matemáticas. Los números y la base del Universo era bastante más compleja que la visión que se tenía entonces, ¡existían números de los que era imposible averiguar todas sus cifras decimales! y no eran una repetición de una unidad como los demás.
Demostración de la irracionalidad de

Existen muchas demostraciones de que no puede ser una fracción. Quizá la más simple es la que ya se hizo ya en tiempos de Pitágoras, aunque no se sabe quien es el autor, y que es recogida por Euclides 300 años a.C. (Ver también Rational and irrational numbers en este blog) Es bastante sencilla y utiliza la estrategia de "reducción al absurdo", es decir, suponemos que algo es cierto y si llegamos de manera lógica a algo que no tiene sentido, deducimos que la afirmación inicial es falsa.
Así, si suponemos que es racional, se podrá expresar como una fracción . Suponemos que tal fracción es irreducible y, por tanto, m y n no tienen factores comunes. Tendremos, lógicamente entonces que:

Eso implica que: , es decir, que es un número par, lo que implica que m también es par: . Por tanto:


Despejando de ahí , se tiene que también es par: , de donde n también ha de ser par.
Pero hemos llegado a una conclusión absurda: m y n no pueden ser pares porque en ese caso la fracción no puede ser irreducible, contrariamente a lo que supusimos al principio. Así pues, partimos de una suposición errónea y no es una fracción, es irracional. c.q.d.

De esta manera pasó a ser el primer número irracional de la historia y fue el único durante mucho tiempo. Hacia el 425 a.C se demostró también la irracionalidad de otros números: Teodoro de Cirene pasó a la historia, entre otras cosas, por dibujar la siguiente espiral donde quedan representados esos y otros números irracionales:
De manera que cada raíz se haya como la hipotenusa de un triángulo recto, comenzando por el que tiene los dos catetos iguales a 1. Cada hipotenusa pasa a ser uno de los catetos del triángulo siguiente.
Más adelante se demostró también la irracionalidad de los propios números , (el número de oro)... Pero lo más importante es que con el descubrimiento de estos números se descubrió al mismo tiempo que muchas de las demostraciones geométricas que habían realizado los pitagóricos eran falsas. Por otro lado, al estar completo el conjunto de los números reales, se pudo desarrollar más adelante la Aritmética y el Álgebra, ya que los números irracionales están estrechamente ligados con las ecuaciones de segundo grado en adelante. Aunque esto se desarrollara muchos siglos después, sin los números irracionales no hubiese sido posible. No hay más que considerar el ejemplo tan sencillo:

Cuyas soluciones son:   . Sin los números irracionales, dicha ecuación no tendría solución y ningún número elevado al cuadrado daría como resultado 2. Pero bueno, también es verdad que en la escuela pitagórica no se resolvían este tipo de ecuaciones.
Y sin considerar todos los números que existen y sin las ecuaciones, ¿se hubiese podido llegar al desarrollo, no sólo matemático, sino tecnológico de hoy en día?
Llama la atención como a una escuela como la pitagórica, cuyos componentes perseguían el conseguir verdades universales a través del estudio les resultó tan difícil digerir uno de sus descubrimientos más importantes. ¿Por qué se les llamó números irracionales? Aún no sé si es porque no se pueden expresar mediante una razón (fracción en matemáticas) o porque se escapaban de la razón de los pitagóricos...
Hay que mencionar también que, de forma independiente, otras culturas también llegaron a la misma conclusión. Así, entre el año 800 a.C y el 500 a.C. en la India, en el libro Sulba Sutras se escribió que la diagonal de un cuadrado de lado 1 y su diagonal no podían ser conmensurables. Lo que no se sabe, o yo no sé, es si en ese caso tal descubrimiento supuso una crisis como para los pitagóricos... O para Hipaso, si la leyenda es cierta.

Representación de

Si este número, como el resto de los irracionales, tienen infinitas cifras decimales, de manera que es imposible conocerlas todas... ¿Cómo representar estos números en la recta real, donde se representan todos los números, lo más aproximadamente posible? Pues se puede... Y precisamente ayudándonos del cuadrado de donde surgió tal número y ayudándonos sólo de una regla y un compás. Para verlo, clica en el siguiente enlace, donde también se explica cómo representar otros irracionales, entre ellos, el número de oro.
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Irracionales/Irracionales.htm
CURIOSIDAD
En realidad, sí que podemos escribir como una fracción... ¿Es una contradicción? No. La fracción es lo que se llama una fracción continua, está formada por un número infinito de fracciones:

Nunca terminaríamos de poner todos los términos en la fracción anterior. El número sería el límite de esa fracción, que se puede interpretar como una sucesión de infinitos términos. Por tanto, no significa que sea racional.

Bibliografía:
  • "La secta de los números. El teorema de Pitágoras". Claudi Alsina. Ed. RBA
  • https://picasaweb.google.com/

2 comentarios:

Los Hermanos dijo...

Me gusta su página. Es muy clara y definidora de los conceptos generales sobre números irracionales. Pero creo que pone usted demasiado empeño en criticar los puntos débiles de la escuela pitagórica. La importancia de la escuela no estriba en lo que falló sino en sus aciertos, que son mucho más numerosos. Siento mucho que, en general, científicos y matemáticos, denosten tan fácilmente el papel constructivo de la filosofía a lo largo de la historia del pensamiento universal de la humanidad. Sé que no es con mala intención. Por lo tanto deduzco que es por falta de información.

Ángeles Rute dijo...

Gracias por el comentario y me alegro de que le guste la página. La tengo un poco abandonada y eso me anima a retomarla, aunque sea un poco más adelante. No puedo más que reconocer que me falta mucho por conocer sobre filosofía y concretamente sobre Pitágoras (y eso que es una de los personajes que más me atraen), pero también es verdad que no he pretendido hacer una crítica destructiva sobre él( ojalá poseyera yo su talento) Sólo me llama la atención como van cambiando las ideas con el tiempo.