¿0.999999999999999999999... es igual a 1?

Imagen de http://www.hitrecord.org/albums/277621

Q.E.D. viene del latín: "Quod erat demonstrandum": lo que se quería demostrar, que en griego, ya utilizaban Euclides y Arquímedes.

Actividades sobre funciones 4º ESO

El movimiento de las olas se estudia con funciones tipo:
y=senx

Aquí hay una relación de actividades con solución. Espero que sea de ayuda, aunque hay ejercicios que no aparecen resueltos paso por paso:

Actividades de funciones

Para practicar la representación de rectas, parábolas y funciones a trozos:

El agua describe una parábola desde que sale
de la fuente hasta caer al suelo

representación de funciones

En este último caso, ATENCIÓN: prestar atención a los ejercicios:

• Desde ejerc. 1 hasta ejerc. 6
• Ejercicio 11
• Ejercicio 20

Actividades sobre áreas y volúmenes de cuerpos geométricos: 3º ESO

Aquí dejo una tabla con el área lateral y el volumen de los cuerpos geométricos que más hemos trabajado (PINCHAD EN LA IMAGEN PARA VER AUMENTADAS):

Además, en este enlace hay una enorme colección de ejercicios resueltos, tanto para calcular áreas, como volúmenes:

ejercicios áreas y volúmenes

¡PERO ATENCIÓN:

•  Solo a partir de la página 6, ejercicio 25
• Pasamos de los troncos de cono y de troncos de pirámide.

Intentaré resumir el fichero de arriba, aunque no sé si podré hacerlo a tiempo.

Espero que sea de ayuda

Actividades sobre teorema de Pitágoras y semejanza (2º ESO)

Las figuras semejantes se diferencian
tan solo en el tamaño

Aquí dejo un montón de actividades: de figuras semejantes,del teorema de Pitágoras y finalmente, todos los ejercicios hechos en clase. Solo los dejo esperando que sea de ayuda, no para que se hagan todos.

• Sobre figuras semejantes:

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/

En esta página, ATENCIÓN: NO hagais:

** la página 5, donde pone "página 181. Teorema de Tales"
**la página 8
**Actividad 17 de la página 7
**Actividad 20 de la página 9

**Actividad 27 de la página 12

• Más sobre el teorema de Pitágoras en:

http://matematicasjjp.webcindario.com/pitagoras_resueltos.pdf

• Todos los ejercicios de clase están resueltos en:
http://www.juntadeandalucia.es/averroes

Medida de la altura de la pirámide de Keops: Tales fue un genio

Teniendo en cuenta el tamaño de la pirámide en comparación con el de una persona, ¿imaginas que se quiere medir su altura? ¿Cómo lo harías?

Pirámide de Keops (2570 a.C)

Se cuenta que un sacerdote egipcio propuso a Tales de Mileto (s. IV a. C) este mismo problema cuando ya las pirámides rondaban los 2000 años de edad y respondió con un método de los más ingenioso para medir dicha altura:

Busto de Tales de Mileto

"Un sacerdote egipcio le pregunta sonriendo cuál puede ser la altura de la pirámide del rey Khufu (la pirámide de Keops). Tales reflexiona y a continuación contesta que no se conforma con calcularla a ojo, pero que la medirá sin ayuda de ningún instrumento. Se echa sobre la arena y determina la longitud de su propio cuerpo. Los sacerdotes le preguntan qué es lo que está pensando, y Tales les explica: 'Me pondré simplemente en un extremo de esta línea, que mide la longitud de mi cuerpo, y esperaré hasta que mi sombra sea igual de larga. En ese instante , la sombra de la pirámide de vuestro Khufu también ha de medir tantos pasos como la altura de la pirámide.' Y como el sacerdote, desorientado por la extrema sencillez de la solución, se pregunta si acaso no hay algún error, algún sofisma, Tales añade: 'Pero si queréis que os mida esa altura, a cualquier hora, clavaré en la arena mi bastón". 

En el siguiente esquema se visualiza el problema (pinchar en la imagen para ver más grande) y cómo calculó Tales la altura clavando su bastón en la arena:

La sombra es la región donde no dan los rayos del sol. Se supone que los rayos que inciden en la pirámide y en el bastón son paralelos y el bastón está clavado perpendicularmente al suelo. De esta forma, los ángulos de los triángulos son iguales entre sí y, por tanto, dichos triángulos son semejantes. Así pues, como se ha dicho en clase:

Supongamos ahora que las medidas se realizaron a una hora del día en la que:

sombra pirámide = 200 m

sombra bastón = 2.05 m

Y que el bastón medía 1.5 m
Se tendría entonces:

De donde se obtiene:

Que es el valor aproximado que tenía la pirámide de Keops en la antigüedad (actualmente 137 m aproximadamente).

Por supuesto, el método de Tales se puede utilizar para averiguar la altura de cualquier objeto muy grande. En el video de abajo, un grupo de alumnos de 2º ESO lo utilizan para hallar la altura de la canasta de baloncesto.

Además de el método de Tales también utilizan otro, según parece, ideado por  Euclides (s. III a.C), en el que, en lugar de aprovechar la sombra, se hace uso del reflejo de la canasta en un espejo .(problemas de este tipo también se han realizado en clase)

Y aunque esta entrada va a salir muy larga, tengo que incluir este relato que he visto en http://pequenoldn.librodenotas.com y que me ha gustado bastante:

con-3-esquinitas-de-nada

Actividades sobre vectores 4º ESO

Imagen de fotomat.es

La ficha que dije sobre operaciones con vectores (gráficamente). Algunos de los apartados ya están resueltos. Aclaro: 

• los vectores negros son el enunciado
• Las rectas y vectores azules son pasos intermedios para llegar a la solución o, simplemente las direcciones de los vectores
• Los vectores rojos son la solución en cada caso.

Actividades operaciones con vectores método gráfico

Aquí están ya las actividades que faltaban, de todo lo que se ha hecho en clase (Me ha llevado hacerlo en ordenador más tiempo del que pensaba). Hay un apartado resuelto de cada ejercicio escrito en rojo.

Actividades de vectores con coordenadas

Espero que sea de ayuda.

Teselaciones: "The power of X"

Llenar una superficie o un plano con una misma figura geométrica es una característica de la decoración de los edificios islámicos, como por ejemplo La Alhambra. En esta ocasión el vídeo "The power of X" (2 minutos aprox.) muestra espectaculares "arabescos humanos", al ritmo de la música de una artista libanesa: Yasmine Hamdan. El vídeo, una obra de arte, abrió la  TEDxSummit en Qatar durante 2012 y el título hace referencia al poder de multiplicar buenas ideas. Si bien, si uno no está avisado de ello, puede pensar que, en lugar de "buenas ideas", se trata "tan solo" de multiplicar un número indeterminado de veces un sólo motivo o figura para formar un bello mosaico.
La agencia encargada del vídeo tiene el curioso nombre de "We are Pi". Para más información del vídeo clicar en la leyenda.

TEDxSUMMIT - The Power of X from WE ARE Pi on Vimeo.

¿Cómo llenar un plano con figuras hechas con personas? No podía ser de otra manera que con espejos. El video fue hecho con bailarines, una cámara y un caleidoscopio (base triangular), sin ninguna manipulación con ordenador. Aquí dejo también el vídeo "cómo se hizo":

Otro corto: "Zero"

Un corto precioso, en esta ocasión escrito y dirigido por Christopher Kezelos y producido por Christine Kezelos (Australia): nacido en un mundo de números, un cero oprimido descubre que con determinación, valor y amor, "la nada" puede llegar a ser algo... Algo grandioso.
Hay que verlo hasta el final: mientras se ve, las matemáticas son lo de menos, pero el final es un guiño muy bueno.

Para quien la prefiera en versión orginal, con los subtítulos en español (cliclar en los subtítulos):

Y como me ha gustado bastante, también dejo el "cómo se hizo":

3x3

Cuando algo no sale, puede que merezca la pena pararse a pensar, analizar... Y lo mismo se da con la solución. Al menos, eso ocurre en este corto: "3x3", bastante simpático, de Nuno Rocha y que ha ganado unos cuantos premios:

3x3 from Nuno Rocha on Vimeo.

Aunque no sé yo si esa estrategia me serviría a mí para hacer una canasta... Soy torpe para lanzar (no tengo más que acordarme de cierto rato no muy lejano en el tiempo).

Una pared con Física... Y "Un tipo serio"

Toda la pared está repleta de dibujos y ecuaciones correspondientes a distintos problemas de Física, los cuales se sirven de matemáticas. Al aumentar la imagen se pueden ver senos y cosenos por casi todas partes. Personalmente, cambiaría el fondo amarillo para hacerlo en mi casa... Y no me sentaría ahí antes de un examen.
Y hablando de examen, aquí dejo un extracto de "Un tipo serio", en el que un estudiante universitario suspende Física por las mates y va a ver al profesor en cuestión a reclamarle un aprobado o una solución... Muy buenas, a la vez que obvias, las propuestas del alumno, que entiende "lo del gato muerto" (clicar quien no sepa de qué va lo del famoso gato), que el mismo profesor acaba confesando que no entiende...

Física sin matemáticas from arfraile on Vimeo.

Actividades de razones trigonométricas 4º ESO

Contiguo se dice "adjacent" en inglés

• Aquí va un enlace con actividades resueltas sobre razones trigonométricas. Hasta la página 6 se aplican las definiciones de seno, coseno y tangente para ángulos agudos, además de la ecuación fundamental de la trigonometría:

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/

A partir de la página 6: problemas sencillos y razones trigonométricas para ángulos no agudos.

Hay maneras más fáciles de encontrar
un triángulo rectángulo...

Actividades de funciones para 3º ESO

Esta gráfica NO corresponde a una función

En este enlace hay actividades resueltas y otras sin resolver para 3º ESO:
http://recursostic.educacion.es/

Hay problemas que son así

Sólo en los problemas de Matemáticas puedes comprar 60 melones y nadie te pregunta qué demonios te pasa.

Leyes de la Naturaleza

Cuanto más rápido te mueves, más pesado eres

Cuanto mayor es la distancia,
menor es la fuerza de atracción

Las cargas opuestas se atraen,
las de mismo signo se repelen

Cuanto más rápido te mueves en el espacio,
más lento lo haces en el tiempo

El significado que se le dé a estas expresiones fuera de contexto es algo personal, por supuesto. Así las encontré en el tumblr proofmathisbeatifull, junto con alguna expresión más. De cualquier forma, son sólo algunas expresiones matemáticas muy conocidas, las cuales hubiesen sido imposible deducir e incluso divulgar sin el lenguaje algebraico.

• La primera de ellas dice que la energía de cualquier cuerpo es igual a la masa por la velocidad de la luz al cuadrado. Pero atención, en contra de lo que podemos apreciar en nuestras experiencias cotidianas, la masa de un objeto depende de la velocidad a la que se mueve:

Siendo m0 la masa del objeto cuando está en reposo respecto de nosotros. Así, cuanto mayor es la velocidad del objeto, mayor será su masa para nosotros. De todo esto: cuanto más rápido se mueve un objeto, mayor será su masa y, por tanto, más pesado será. Este es, de manera muy resumida, el contexto en el que Einstein expuso la que quizá es la expresión matemática más popular de todas.

• La segunda es la ley de la gravitación de Newton que dice que la fuerza gravitatoria con la que se atraen dos cuerpos es inversamente proporcional a la distancia que los separa al cuadrado y directamente proporcional a las masas de los cuerpos. Este fue un descubrimiento revolucionario en la época, que Newton explicaba así la razón por la cual, no sólo los cuerpos caían al suelo, sino también por qué la Tierra y los planetas permanecen ligados.

•  La tercera es la ley de Coulomb y es similar a la de Newton. En este caso describe cuánto es la fuerza con la que se atraen o repelen dos cargas eléctricas. Si estas son del mismo signo, se repelen con una fuerza inversamente proporcional al la distancia que las separa al cuadrado y directamente proporcional al valor de las cargas.

• La última es otra expresión de Einstein. Según su teoría de Relatividad Especial, si un cuerpo se mueve respecto de nosotros, el tiempo no transcurre igual para él (T' ) y para nosotros (T). Imaginemos entonces una nave espacial que se mueve a una velocidad asombrosa, por ejemplo, de 200000 km/s y que dentro de esa nave un hombre corre desde un extremo a otro de la nave, midiendo el tiempo que tarda en hacerlo (T' ). Si nosotros midiésemos ese tiempo desde la Tierra, descubriríamos que el hombre no tardó un tiempo T', sino otro tiempo distinto T, que por la expresión anterior es más grande. Y no, no sería una ilución óptica, ni tiene que ver con que los relojes sean defectuosos, ni con no saber medir el tiempo... La Relatividad Especial deduce que el tiempo que tardan en ocurrir las cosas depende desde dónde se observe, mejor dicho, de la velocidad a la que se mueva el observador.

Sumar x

De la misma manera: x + x = 2x

Y también: 2x · 1 = 2x

Y una ventana menos 2/3 de ventana...

Lenguaje algebraico para 1º y 2º ESO

El siguiente vídeo de Troncho y Poncho sirve para introducir el lenguaje algebraico:

Además, hay actividades relacionadas con el vídeo con resolución de ecuaciones muy sencillas.
Para más actividades sobre ecuaciones: enlaces en este blog

Planetas y Sol a escala

En la imagen se representa el Sol y los planetas de nuestro sistema (clicar sobre ella para aumentar). El primer puntito que se ve a la izquierda es Mercurio, seguido de Venus, Tierra (azulado y de más o menos el mismo tamaño) y Marte. A la derecha de este los planetas gaseosos hasta llegar a Neptuno. Los puntitos a la derecha de Neptuno son planetas enanos. 

¿Qué tiene de especial esta imagen? Si dividimos el diámetro de la imagen del Sol y la dividimos entre el diámetro real del Sol obtendremos el mismo resultado que al dividir el diámetro de cualquier planeta de la figura entre el diámetro real correspondiente. Es decir, tenemos una representación a escala en cuanto al tamaño del Sol y sus planetas. Puedes comprobarlo consultando los datos de los diámetros de la tabla, en la columna de radio ecuatorial (multiplicar el radio por 2) y midiendo tú mismo el diámetro de cada uno en la figura (evidentemente de los más grandes). El resultado será la razón de semejanza relativa al tamaño de los objetos representados o la escala.

Se puede apreciar entonces cuánto de gigantesco es el Sol respecto de la Tierra. Nuestro planeta cabría en una de la manchas solares que aparecen en la figura. No solo eso, nuestro planeta es diminuto también en comparación con Júpiter o Saturno... Y en esa pequeña bolita azul vamos "flotando" en el espacio, moviéndonos alrededor del Sol, nada más y nada menos, que a 108000 Km/h... O 30 km/s.

Si aumentamos la imagen, veremos que en el lado derecho se tienen también a escala las distancias de cada planeta hasta el Sol (desde Mercurio hasta Neptuno). Al igual que antes, si dividimos la distancia planeta-Sol que aparece en la imagen entre la distancia planeta-Sol que aparecen en la tabla, tendremos siempre el mismo resultado. Hacer una maqueta del sistema solar con las distancias entre planetas y el Sol a escala es complicado debido a que esas distancias son muy grandes en comparación con los diámetro. Para comprobarlo, lo mejor es ir a la NASA:

http://solarsystem.nasa.gov/

Y clicar en "Explore the Solar System". Ahí se podrá ver a escala y en tiempo real una representación del Sistema Solar, pudiendo hacer zoom sobre los planetas.

Insistiendo un poco más, no me resisto a insertar este vídeo donde se simula cómo se verían los planetas de nuestro sistema si estuviesen a la misma distancia de la Tierra... ¡Ahora sí que impresionan!:

Scale from Brad Goodspeed on Vimeo.

Las horas con 9

El resultado de las operaciones es conocido...

Dividir por 0

1:0.1 = 10
1: 0.01 =100
1: 0.001= 1000
1: 0.0001 = 10000
1: 0.00001 = 100000
1: 0.000001 = 1000000
1: 0.0000001 = 10000000
.
.
.

Cuanto más se acerca el divisor a 0, el resultado se hace cada vez mayor... Hasta el infinito.

Actividades sobre figuras semejantes (4º ESO)

Figuras semejantes son las
que tienen la misma forma,
diferenciándose tan solo en el tamaño

En el siguiente enlace hay actividades resueltas sobre semejanza de figuras:

• http://recursostic.educacion.es
• http://www.slideshare.net/

Imagen de fotomat.es

También son interesantes los siguientes enlaces para entender el concepto de semejanza:

• http://recursostic.educacion.es
• http://aula-geogebra.wikispaces.com/
• http://www.dmae.upct.es/

Este enlace es muy bueno: medición de la altura de las pirámides con ayuda de semejanza de triángulos:

actividad interactiva: medir la altura de pirámide de Keops

Día pi de 2013

Entre unas cosas y otras hoy olvidé que es el día de pi: 14 de marzo, se escribe en los países anglosajones: 3-14 (primero el mes y después el día). Además, en inglés, "pi" se pronuncia lo mismo que "pie" (tarta), lo que da lugar a que haya una infinidad de imágenes que homenajean al número de esta forma. Aunque tarde, aquí dejo el mío:

Imagen de proofmathisbeautiful.tumblr.com/archive

Además, dejo este vídeo, que aunque está en inglés, está subtitulado y me ha gustado:

Actividades de sistemas de ecuaciones lineales

• En este enlace se explica brevemente cómo se resuelven y tiene ejercicios resueltos:

recursostic.educacion.es/

• Ejercicios para practicar (no resueltos, pero con solución). También contienen problemas:

.vadenumeros.es/
juntadeandalucia.es/averroes/

• En este otro enlace se explican los métodos de sustitución, igualación y reducción, de manera interactiva, con distintos ejemplos:

extremate.es/

• Película donde se explican los sistemas de ecuaciones (también con interpretación gráfica):

aula365.com

Actividades de ecuaciones logarítmicas y exponenciales

Ejercicios resueltos de ambos tipos de ecuaciones:

http://www.vadenumeros.es/

• Con Descartes, para practicar ecuaciones y sistemas de ecuaciones exponenciales sobre el ordenador:

recursostic.educacion.es/exponenciales

recursostic.educacion.es/logarítmicas

• Ficheros pdf para practicar ecuaciones:

clasesdeapoyonuevo

Actividades con logaritmos

Imagen de
proofmathisbeautiful

Ejercicios fáciles resueltos en los siguientes enlaces:

www.vadenumeros.es

matesvaldemora.files.wordpress.com

• Para practicar las propiedades de los logaritmos (fichero PDF) :

ccsanantoniodepadua.com/

www.irlandesasloreto.org

• En este otro, se practican en la misma página:

www.unizar.es/

Actividades con inecuaciones

Imagen de http://www.fotomat.es

Para hacer actividades de inecuaciones, explicadas paso por paso en videos, desde lo más sencillo:

Childtopia

El siguiente enlace es una relación de ejercicios en pdf:

juntadeandalucia

Y en este otro, vienen explicaciones, ejercicios resueltos y otros por resolver. Eso sí, no todas son aptas para 4º ESO:

http://www.unizar.es/

Estos otros enlaces sí contiene ejercicios para 4º ESO:

www.irlandesasloreto.org/
amolasmates.es/ (con ejercicios resueltos)

Números que trascienden

Fijémonos en la siguiente ecuación:

3x + 2 = 4

Rápidamente, obtenemos como solución:

2/3 es un número racional y uno puede pensar que cualquier fracción puede obtenerse con una ecuación similar. Y así es: todos los números racionales son solución de una ecuación de primer grado con coeficientes enteros. Además llegamos a una conclusión: si los coeficientes de la ecuación son enteros, es imposible obtener un número irracional.

Ahora, nos fijamos en la ecuación:

x² – 2 = 0

Que tiene dos soluciones:

Ambos números son números irracionales. Pero la pregunta es: ¿podemos obtener cualquier número irracional con una ecuación de grado 2 si los coeficientes son enteros? La respuesta es no. Por ejemplo, el número pi o el número e no se pueden obtener con una ecuación de grado 2... Ni de grado 3 en adelante, si los coeficientes son números enteros. Así, los números se pueden clasificar en:

• Números algebraicos: los que son solución de una ecuación polinómica con coeficientes enteros. A este grupo pertenecen todos los racionales y parte del conjunto de los irracionales, como:

, que es solución de x² – 2 = 0

el número de oro φ , que es solución de x² – x – 1 = 0

Joseph Liouville 

• Números trascendentes: Los que no son solución de ninguna ecuación polinómica con coeficientes enteros. Ejemplos son el número e  y el número pi 

Joseph Liouville fue el primero en demostrar que estos número existen en 1844, aunque Euler ya sugirió que e lo era en 1748. Se les llamó trascendentes porque "trascienden el poder de los números algebraicos": no se pueden obtener con un número finito de operaciones con números enteros. Por eso estos números se descubrieron tarde, hacía falta algo más que unas cuantas operaciones con números enteros para llegar a ellos. Recordemos entonces que "e" tiene la peculiaridad de que fue el primer número definido como un límite, por lo que es el resultado de infinitas operaciones y que en la expresión del número pi (para quien se "sorprenda" por la fracción):

uno de los dos valores (o ambos): L y R no son números enteros.

Uno se puede preguntar si e y pi son los únicos números trascendentes. La respuesta es que no. Es más, existen infinitos números trascendentes... Y aún hay más: aunque también hay infinitos números algebraicos, resulta que, por decirlo de alguna manera, "el infinito de los números trascendentes es aún más grande", es decir, los números trascendentes son la mayoría de los números. Tantos, que si nos dispusiésemos a contarlos, comprenderíamos que es imposible, como es imposible contar los números reales (el conjunto de reales es no numerable porque el de trascendentes no lo es). No ocurre lo mismo con los algebraicos: hay infinitos, pero a cada uno de ellos se le puede asociar un número natural, de manera que aunque tardásemos un tiempo infinito, al menos podríamos imaginar que los contamos. (los algebraicos forman un conjunto numerable)

No siempre es fácil averiguar si un número es o no trascendente: la trascendencia de e y π no fue demostrada hasta 1873 (Hermite) y 1882 (por Lindemann) respectivamente, unas cuantas décadas después de la demostración de Liouville. Como pi y e lo son, muchos logaritmos neperianos y expresiones trigonométricas también lo son, pero no siempre es fácil demostrarlo. Por ejemplo, no se sabe si son trascendentes:

• π + e, ni π · e  aunque sí de que uno de los dos seguro que lo es.
• π^π
• π ^e, del que no se sabe siquiera si es irracional, al igual que ocurre con π / e y π + e. Si estos dos últimos números fuesen algebraicos, los polinomios de las ecuaciones son, al menos, de grado 8 y los coeficientes de orden medio 10⁹ .

Sí se sabe que son trascendentes, además de e y pi, por ejemplo:

• e^π 
• π + ln 2
• 
• 
• a^b si a no es ni 0 ni 1 y b es irracional.
•  que es un número de Liouville (primer número demostrado como trascendente).

Y aunque el siguiente número lo puede no parecer por su aspecto, es algebraico:

siendo solución de la ecuación:

Las apariencias engañan... Este número se puede obtener con un número finito de operaciones algebraicas... Cosa que no ocurre con e, π y tantos otros que se escriben tan fácil. Y según lo dicho anteriormente, la inmensa mayoría de los números reales son así de "inalcanzables". Es imposible obtenerlos con las típicas ecuaciones que se resuelven en la ESO porque están más allá de unas cuantas operaciones con números enteros.

Bibliografía:

• "De los números y su historia" Isaac Asimov
• "Los secretos del número pi". Joaquín Navarro. RBA
• "La poesía de los números" Antonio J. Durán. RBA