domingo, 27 de enero de 2013

Logaritmos: definición y utilidades

Cuando en una ecuación la incógnita aparece en una potencia, se pueden presentar dos casos:
  • La incógnita aparece en la base de la potencia. Por ejemplo:
  • La incógnita aparece en el exponente de la potencia. Por ejemplo:
Averiguar 
significa averiguar a qué número debemos elevar a para que el resultado sea b. En el caso de que "a" sea 10,  hablamos de logaritmo decimal y se representa por "log". En el caso de que la base sea el número "e" hablamos de logaritmo neperiano y se representa por "ln".
Teniendo en cuenta cómo el concepto de logaritmo está ligado al de potencia y recordando cómo operamos con ellas, no resulta chocante las dos siguientes propiedades fundamentales (muy fáciles de demostrar):
   (1)

UTILIDADES DE LOS LOGARITMOS
Actualmente, los logaritmos aparecen por doquier en Matemáticas y en las demás ciencias. Algunos ejemplos son los siguientes:
  • Así, en Química aparece en la definición del PH, que nos indica el grado de acidez una disolución, relacionado con la concentración de iones hidronio de la siguiente manera:www

En una disolución acuosa se tiene que la concentración de H+ y OH- cumplen :
Si ambas concentraciones son iguales a 10^(-7), la disolución será neutra. Si la concentración de H+ es mayor que la de OH- se tendrá que la disolución es ácida y PH < 7. En caso contrario, será básica. En la imagen de abajo se dan ejemplos de sustancias en la escala de PH.

Imagen de:
http://gasesamj.blogspot.com.es/2011/05/neutralizacion-y-ph-soluciones.html

  • La escala de Richter, que se utiliza para cuantifica la energía en un terremoto, es una escala logarítmica.:

donde:
A = amplitud de las ondas en milímetros, tomada directamente en el sismograma.



\Delta t\, = tiempo en segundos desde el inicio de las ondas P (Primarias) al de las ondas S (Secundarias).
M = magnitud arbitraria pero constante a terremotos que liberan la misma cantidad de energía

Reproducción de un sismograma tomada de Wikipedia
  • El decibelio (dB) es una unidad que se utiliza principalmente en Acústica. Las ondas sonoras producen un cambio de presión en el aire y el nivel de presión audible puede medirse con la expresión:
Donde:
P0 = presión mínima audible en el aire para un humano y toma el valor de 2·10^(-6) Pa.
P1 = presión producida por la onda sonora en el aire
Lp nos cuantifica cuánto de audible es un sonido. Aunque es una magnitud adimensional, el resultado se indica en dB. Dada la expresión matemática anterior, la escala de decibelios es una escala logarítmica.En la segunda igualdad de la expresión anterior se ha utilizado la segunda de las dos propiedades de los logaritmos expuestas anteriormente (1)
Imagentomada de http://hmdmodding.com
En la tabla de arriba se representa la intensidad del sonido en dB en distintos casos. Como puede apreciarse en el umbral de audición (cuando la presión es P0) se tienen 0 dB, ya que en ese caso Lp = 20 log 1 = 0 dB
  • En Física, se sabe que cierto tipo de sustancias (ejm. el uranio) son radiactivas, debido a que sus átomos se desintegran de manera natural, emitiendo otro tipo de partículas y/o energía. La desintegración radiactiva se comporta según la ley siguiente:

Desintegración beta.
Imagen de http://rnf.fisica.org.ar
Donde:
N (t) = número de partículas en un tiempo "t" dado
N0 = número de partículas en el momento un momento dado (ejm. cuando comienzan a desintegrarse o cuando comenzamos a estudiar el conjunto de partículas)
es una constante que viene dada por la probabilidad de desintegración por unidad de tiempo.




Así, si queremos calcular el tiempo necesario, por ejemplo, para que las partículas radiactivas se reduzcan a la mitad (tiempo de semidesintegración), deberemos despejar el tiempo del exponente, y por lo tanto, utilizar un logaritmo neperiano:
Con lo que, el tiempo necesario para que quede la mitad de las partículas radiactivas que teníamos al principio, no es la mitad del tiempo necesario para que desaparezcan todas, sino que viene dado por la expresión anterior.

Imagen tomada de http://ocw.unia.es,
donde semuestra la gráfica de la ley desintegración

  • No puedo evitar escribir la siguiente ecuación, poco o nada conocida para quienes no han estudiado física: la ecuación de Boltzmann:
S representa la entropía, que es la cantidad de energía de un sistema que no puede ser transformada en trabajo.
k es la conocida constante de Boltzmann y Ω es el número de microestados que puede tener un sistema, todos igual de probables.
Bibliografía:
  • Wikipedia