En la
entrada anterior se definió el logaritmo y se expuso algunos ejemplos de sus aplicaciones. Sin embargo, ninguno de ellos fue el motivo por el cual se descubrieron. Aunque suene chocante, los logaritmos se descubrieron como una
estrategia para facilitar la multiplicación, división y raíces de números con varios decimales.
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Triángulo en una superficie esférica
Imagen tomada de Wikipedia |
El fundador de la teoría de los logaritmos y el que les dió ese nombre fue
John Napier (1550-1617). Napier, además de aficionado a las matemáticas, estaba interesado en la astrología. Esto le llevó a investigar las propiedades de las figuras geométricas sobre una superficie esféricas, obteniendo importantes resultados en la resolución de
triángulos esféricos. Sus estudios acarreaban cálculos trigonométricos, los cuales implican números con muchas cifras decimales. Tanto es así, que se convirtió en una prioridad buscar algún algoritmo que facilitara los cálculos y ahorrara tiempo.
Napier se dió cuenta de algo que ya conocía
Arquímedes (
287 a.C.-id., 212 a.C) y después
Michel Stifel (1487-1567):
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En la primera fila de la siguiente
tabla se tiene números naturales y en la segunda, cada número es 2 elevado al número de la primera fila.
Para multiplicar dos números de la segunda fila: ejm. 8·16, podemos sumar los dos números correspondientes de la primera fila: 3+4 = 7 y luego buscar el número asociado en la segunda fila: 128. De esta manera, en lugar de hacer una multiplicación, se realiza una suma, lo que es más cómodo cuando en lugar de tener números tan manejables tenemos otros con muchos decimales.
Parece ser que Stifel se
dio cuenta del juego que podía dar una tabla de números como la
anterior, sin embargo no profundizó más en ello. Por otro lado,carecía aún de una herramienta: las fracciones decimales,
que no aparecieron hasta después del año 1600 y gracias a las
cuales los logaritmos fueron tan útiles.
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| John Napier |
En cambio, Napier vio en la idea de
Stifel una solución a su problema. Bastaba elegir una tabla adecuada
a los números que debía utilizar. De esta manera, la segunda fila
de la tabla la construyó con los
senos de ángulos entre 0º y 90º y de tal manera que cada uno de los números
era el anterior multiplicado por 0.9999999, y los llamó
antilogaritmos. A los números de la primera fila los llamó
logaritmos (los exponentes de la base para obtener la segunda fila)
En 1614 publicó
Mirifici logarithmorum canonis descriptio o
“descripción de la maravillosa regla de los logaritmos” y hasta
dos años después de su muerte no se publicó cómo fueron
construidas sus tablas en la obra
Mirifici logarithmorum canonis
construccio (“Construcción de la maravillosa regla de los
logaritmos"). Hay que señalar que Napier
no concibió en los logaritmos como lo hacemos hoy en día (en resumen, representa un exponente. algo hasta simple), sino que fue algo bastante más complejo:
"El logaritmo de un seno dado es el número que aumenta aritméticamente con la misma velocidad a la que el seno ha comenzado a disminuir desde el seno dado proporcionalmente a su longitud"
Como puede observarse, esa definición se basa en cálculos trigonómétricos y en algún tipo de movimiento... Y asusta, así que lo dejamos así. Los comienzos pueden ser duros y no es raro que algunas ideas se vayan simplificando con el paso del tiempo.
COLABORACIONES FRUCTÍFERAS
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John Briggs
Imagen de:
http://dhthmates.wikispaces.com |
La obra de Naiper no pasó desapercibida. Cuando publicó el primer libro
John Briggs (1561-1630) se dio cuenta en seguida del gran potencial de la idea de Napier. Los dos se vieron antes de la muerte de este y discutieron la posibilidad de facilitar aún más las cosas si utilizaban 10 como la base de los logaritmos, además de la posibilidad de que
100 = 1, es decir,
log 1 =0 (algo que traía de cabeza a Napier). Sin embargo, Napier, que ya estaba enfermo no quiso modificar todo lo que ya tenía hecho y Briggs publicó las primeras tablas de logaritmos decimales en 1618 (un año después de la muerte de Napier). En ellas aparecen los logaritmos decimales de los números de 1 a 1000 ¡con una precisión de 14 decimales! Años más tarde publicaría los logaritmos decimales de los números de 1 a 20000 y de 90000 a 100000 con la misma precisión.
A Briggs le debemos entonces los logaritmos decimales. El nombre de
logaritmo neperiano (base e) es en honor de Napier. Aunque, ni siquiera llamaba al número "
e" por su nombre, ya que este
ni siquiera estaba "bautizado" en aquella época, aún estaba "en pañales"... Mejor, sin identificar. Aún así, de sus cálculos se deduce que la base de sus logaritmos era un número
cercano a 1/e y que hoy escribimos como:
Sí... Uno piensa que vaya número rebuscado para la base de un logaritmo... Pero se estaba empezando y ese sería el que él estimó mejor para sus cálculos.
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Joost Bürgi
http://.educastur.princast.es |
HISTORIA PARALELA: NO ESTAR EN EL SITIO Y MOMENTO OPORTUNOS
Sin embargo, existió otro personaje
Jobst Bürgi (1552-1632), un relojero y constructor de instrumentos suizos que utilizó como base de los logaritmos un número
próximo a e (aunque parece ser que no fue muy consciente de ello):
Según parece llegó a la idea de logaritmo de forma independiente incluso antes que Napier, pero no publicó su trabajo hasta 1620 (a sugerencia del mismo Kepler) en Praga y, además, en período de guerra, por lo que no se propagó.
¿CÓMO CALCULAR TANTOS LOGARITMOS?
Ahora bien, ¿cómo elaborar las tablas para que realmente sean útiles? Briggs miraba las tablas de logaritmos y antilogaritmos como dos progresiones de números: una aritmética (la primera fila, la de los logaritmos) y una geométrica (la segunda fila, la de los antilogarimtos). Relacionando ambas progresiones, le resultaba más fácil
aproximar los valores de los logaritmos. Aún así, se seguían necesitando muchos cálculos y tiempo para elaborar las tablas. A primera vista parece que con el objetivo de ahorrar trabajo, se llega a lo contrario: más trabajo. Pero el esfuerzo merecía la pena, ya que aliviaría la tarea engorrosa en múltiples situaciones. Por otro lado en el siglo XVII se descubrió un gran recurso para calcular dichos logaritmos: los
desarrollos en serie. Estos consisten en que el logaritmo (al igual que innumerables funciones, por no profundizar más) se puede expresar como un polinomio con infinitos términos:
Expresión que es válida siempre y cuando:
-1< x < 1 ó sea igual a 1. De esta forma se pueden calcular los valores de los logaritmos decimales de números con tanta precisión como sea necesario (
cuantos más sumandos añadamos, más precisión tendremos)
ÉXITO DE LOS LOGARITMOS
La publicación de las tablas de Briggs fueron todo un éxito y pronto se editaron en varios países. Como dijo Laplace: "Gracias a sus trabajos (de Napier) se alargó al doble la vida de los astrónomos" Pero no sólo facilitó la vida a los astrónomos o a los científicos, sino a los
navegantes. En aquella época para guiarse en el mar se ayudaban la posición de los astros y la elaboración de las cartas astronómicas necesitaban largos y engorrosos cálculos (de nuevo trigonométricos), por lo que las tablas logarítmicas fueron un recurso muy práctico. Los viajes se podían planificar mejor, elegir la mejor ruta y evitar que las mercancías se estropearan, evitar toparse con el enemigo o pasar muy cerca de él...
Los navegantes (militares o no) no fueron los únicos en agradecer la aparición de los logaritmos. Aunque no se necesitaba números tan engorrosos como en la navegación, la actividad de los
bancos en los siglos XVI y XVII ya necesitaba de operaciones más enrevesadas que un par de sumas o restas. Por ejemplo, al pedir un préstamo P a devolver en n plazos, de interés "i" para cada uno de ellos, el dinero que se debe abonar en cada plazo es:
Y con el maldito dinero no se juega, hay que calcular cantidades exactas a devolver, en cuántos plazos es mejor pagar...Así que los bancos acogieron a los logaritmos con los brazos abiertos.
Otro campo donde se comenzó a aplicar las tablas logarítmicas fue en
agrimensura. Con la aparición del pequeño propietario había que realizar planos de propiedades, para lo cual había que medir distancias y ángulos y, por tanto, realizar cálculos trigonométricos.
Por supuesto, la
ingeniería, que también necesitaba de cálculos, los acogió rápidamente. La primera vez que aparecen mencionados en un libro en español fue en 1637, cuando aparece en el prólogo de un ingeniero hidráulico y profesor de fortificación:
Luis Carduchi.
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Portada de:
"Elementos geometricos de Euclides"
de Luis Carduchi
Imagen de http://divulgamat2.ehu.es |
Hasta bien entrado el siglo XX, con la aparición de las calculadoras de bolsillo, los estudiantes tenían como herramienta de cálculo las famosas tablas trigonométricas (benditas calculadoras):
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Tabla logarítmica de 1950
Imagen tomada de www.todocolección.net |
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Portada de tabla logarítmica de 1908
Imagen de: http://catedu.es |
Bibliografía:
- http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=12619&limitstart=2
- "Apuntes de historia de las matemáticas" Vol 2. Historia de los logaritmos. Francisco Javier Tapia Moreno.
- "Logaritmos, ordenadores y carreras de caballos". Vicente Trigo
, que es solución de x2 – 2 = 0
que es un número de Liouville (primer número demostrado como trascendente).
e es un número, al igual que pi,
irracional: Tiene un número infinito de decimales y no es periódico.
Aún así, igual que pi es aproximadamente 3,14, el número e es aproximadamente 2,72.
