Aparición de e: límites y finanzas

Fijémonos en la siguiente expresión:

Donde n puede ser cualquier número natural. Calculemos los valores para distintos valores de n:

n	1	10	100	1000	10000	100000	1000000	10000000
	2	2,593...	2,7048...	2,7169...	2,7181...	2,71826...	2,71828...	2,71828...

Al observar la tabla podemos ver que cuanto más grande sea n, el valor obtenido también es más grande. Aún así, llegado un momento, no parece crecer tanto: los tres últimos valores tienen los mismos 4 primeros decimales y las dos últimas ya tienen iguales los cinco primeros. Si damos a n un valor aún mayor nos encontraremos con que el valor encontrado es aún más parecido.

¿Qué ocurriría cuando n es infinitamente grande? No podemos hacer que n sea ∞ (infinito), porque el infinito no se puede alcanzar. Además, si damos números muy, muy grandes, vemos que la calculadora ¡empieza a fallar! Por ejemplo: si n = 987654321987654321 (número grande, pero fácil de introducir sin equivocarse), obtenemos de repente que el valor es: 1, lo cual es evidente que no puede ser cierto. Y es que la calculadora tiene un poder limitado... Y a partir de un número lo suficientemente grande, pasa de hacer operaciones y comienza con las aproximaciones y... Comienza a equivocarse porque no razona. Para ella:

con lo cual:

No debería ser así, porque la calculadora es adorada como algo perfecto... Pero eso hace. Después calcula 1 elevado a ese número y obtiene, por supuesto: 1... Porque la calculadora tampoco sabe elevar 1 a infinito... Si considerara de verdad que el número anterior tan grande como para ser infinito y supiera matemáticas: daría error. Y es que, 1 elevado a infinito no solo no es 1... Es que no se sabe lo que es si no se utiliza otro razonamiento. A esto se le llama en matemáticas indeterminación.

Lo que intuimos observando la tabla y si seguimos calculando para valores de n muy grandes (aunque sin pasarse para que la calculadora no se equivoque) es que nos vamos acercando a un número:

 2.71828182845904523536...

Número del que, por este camino, nunca conseguiremos averiguar todas las cifras decimales porque, como se ha dicho y podemos imaginar fácilmente: nunca llegaremos a que n sea infinito. Aún así, se puede “palpar” que cada vez nos acercamos más a un número y a esto se le llama en matemáticas: averiguar el límite cuando n se hace infinito y se simboliza como:

Jacob Bernoulli

Esto fue lo que descubrió Jacob Bernouilli (1654-1705) en 1683 y fue una de las primeras apariciones estelares del número e. Bernouilli calculó el valor para distintos valores de n sin calculadora... Por lo que tuvo que armarse de sus propios recursos: el teorema del binomio, llegando a la conclusión de que el resultado del límite era un número entre 2 y 3. Esta es la primera aproximación del número e y el límite anterior es una definición de e... Además, e es el primer número que es definido a través de un límite. A pesar de todo, la presencia de e aún seguía siendo tímida: Bernoulli ni siquiera relacionó e con los logaritmos, que ya por entonces existían, aunque no se pensaba en ellos como hoy en día. Aún estaba el mundo de e "fermentando". Las propiedades de e, como que es irracional y trascendente fueron demostradas más tarde por Euler (1707-1783) y Hermite  (1822-1905) respectivamente.

Si uno se pregunta ¿qué estaría haciendo Bernouilli para pensar en eso´y de dónde se sacó la expresión anterior? La respuesta es muy poco romántica y digo esto porque a mí las finanzas no me lo parecen. El problema que estaba resolviendo fue: ¿cómo crecería el capital acumulado si se aplica a la inversión un interés compuesto anual, si vamos cobrando los intereses en n plazos en lugar de esperar un año?

No es complicado llegar a la expresión:

Que aparece en los libros de matemáticas de secundaria. La expresión con la que se empezó esta entrada y en la definición de e corresponde a una inversión de 1 €, un interés desorbitado del 100% (r = 1) y t = 1 año. Y la respuesta encontrada: no es lo mismo cobrar los intereses por trimestres, semestres o anualmente... Pero que no cunda la paranoia, porque más allá es esforzarse para nada: se va a ganar lo mismo.

Bibliografía:

• http://www.astroseti.org/articulo/3490/
• vviana.es/doc/El%20Numero%20e.pdf