La proporción áurea aparece en un sinfín de casos en la naturaleza. Uno de ellos es la proporción entre distintas partes de nuestro propio cuerpo, como expuse brevemente en la entrada "Cuerpo áureo". Pero hay muchos más ejemplos, realmente innumerables: la razón del diámetro del tronco de un árbol y el de las primeras ramas que salen de él es áurea, al igual que la razón entre las nervaduras de las hojas. Los siguientes ejemplos son bastante evidentes siguiendo el hilo de "número de oro" en este blog:
Poniendo nuevamente los pies en la tierra a la escala a la que estamos habituados y dando un paseo por la playa, nos podemos encontrar con la llamada "ojo de santa lucía".
La espiral logarítmica que más aparece en los libros y en la red es el caparazón del nautilus.
Dejo el siguiente video que me parece bastante interesante:
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Al cortar una manzana transversalmente nos encontramos con un pentagrama, al igual que en la estrella de mar
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Tan diferentes en tamaño (la galaxia tiene una 170000 a.l. de anchura y el tifón unos 1000 Km), estando uno a millones de años luz de distancia y el otro aquí en nuestro planeta, las dos estructuras tienen en común el tener la misma geometría: una espiral logarítmica. A una escala muchísimo más pequeña, lo mismo ocurre a cuando se registran en una cámara de burbujas las trazas dejadas por partículas subatómicas, como los electrones o los protones, producidas tras la colisión de dos partículas iniciales.
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| Ojo de santa lucía |
Y un caso que me parece verdaderamente curioso: en la población de abejas en una colmena. Según parece la razón entre las abejas macho y las abejas hembra es el número phi. Esto tiene que ver con la vinculación que hay entre el número áureo y la llamada sucesión de Fibonacci. Esta sucesión es la siguiente: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89...
Cada número es la suma de los dos anteriores. Ejm: 13 = 5+8. La sucesión tiene infinitos términos.
Si llamamos an al n-ésmo término de la sucesión y an+1 al término siguiente, se tiene que cuanto más lejos nos vamos en la sucesión, es decir, cuanto más grandes sean los términos, la razón:
an /an+1
tiende al número phi. Esto se puede comprobar fácilmente: 8/5 = 1.6 ; 13:8 = 1.625 ; 21/13 = 1.615... Y así sucesivamente, de donde se obtiene una difinición del número de oro diferente a la de las entradas anteriores.
Como es sabido la comunidad de una colmena es peculiar: los machos (zánganos) dedican su vida a fecundar huevos de la reina, la cual vive exclusivamente para poner huevos. De los huevos fecundados se producen las abejas hembras (las obreras) y de los que no son fecundados, los machos. Supongamos entonces, que tenemos un zángano y nos ponemos a hacer su árbol genealógico (clicar para ver más grande):
Cada generación está escrita en un color diferente. A continuación está escrita la cantidad de abejas en cada genración (negro). Al lado, en azul, están la cantidad de hembras de esa generación y en rojo la cantidad de zánganos.
Como puede verse, el número total de antepasados del zángano sigue la sucesión de Fibonacci:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55...
Por otro lado, también el número de hembras en cada generación:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,13 ...
Y el número de machos en cada generación:
1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...
Si dividimos el número de hembras entre el número de machos en cada generación se puede apreciar que el resultado tiende al número de oro conforme consideramos generaciones más anteriores.
Teniendo en cuenta que la comunidad de la colmena es cerrada, la proporción entre machos y hembras en la población será esa.
En el reino vegetal, la sucesión de Fibonacci y el número phi están especialmente presentes... Tanto en las
dimensiones de hojas, como en la distribución de estas a lo largo del tallo, en la distribución de las semillas en un girasol o en una margarita, en el número de pétalos de una margarita, en los pétalos de una rosa... |
| Diente de león: sus semillas se distribuyen como las de un girasol |
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| Erizo de mar, donde las espinas se distribuyen como las semillas en el diente de león Imágenes de: http://es.123rf.com |
Dejo el siguiente video que me parece bastante interesante:
En él aparece el ángulo 137.5º, llamado ángulo áureo porque está muy relacionado con el número de oro. Ese es el ángulo con el que se van dispersando las semillas del girasol conforme van surgiendo.. Y es también el ángulo que forman entre sí las hojas en el tallo de una flor. El tallo comienza teniendo forma cónica y el primer par de hojas salen en la base, que es más ancha. Las próximas dos hojas salen cuando el tallo ha crecido más separadas por el mismo ángulo entre ellas 137.5º... Y así sucesivamente. De esta forma, después de haber brotado 4 pares de hojas, estas no se hacen sombra las unas a las otras cuando el sol está en el punto más alto. Las hojas quedan repartidas de forma uniforme, por igual y con eficacia.
Realmente, hay innumerables ejemplos y siento el impulso de ponerlos todos, porque no dejo de sorprenderme. Unido esto a que se le vincula también a la belleza y la armonía, la proporción áurea fue también llamada la “divina proporción”. Las formas de los ejemplos anteriores y las proporciones no son así por casualidad. El número áureo 1.62 (aprox) es una especie de protagonista, a la naturaleza le gusta este número. La pregunta inevitable es ¿por qué?. Si consideramos que la naturaleza no tiene conciencia, que las plantas no piensan cómo distribuir sus hojas, lo mismo que nosotros no decidimos las proporciones de nuestro propio cuerpo (hasta que alguien decide ponerse unos labios descomunales que casi no puede cerrar)... Y teniendo en cuenta que a la naturaleza le gusta optimizar (con la mínima energía es mejor, por no decir, que si no es con la mínima no lo hace) y lo que perdura es lo eficaz, la respuesta tiene que estar en esa dirección.
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Nautilus
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Ejemplo de ello es el caso del número y distribución de hojas alrededor de un tallo, como se expuso brevemente arriba. Otro ejemplo fácil de explicar es el del nautilus. Conforme este va creciendo y se van creando más cámaras en su interior, estas van siendo cada vez más grandes. Si la forma de la concha se mantiene durante el crecimiento, resulta finalmente una espiral logarítmica. Bueno, en realidad no es una espiral logarítmica exacta, pero se le asemeja bastante, tal y como se puede ver en la siguiente figura (clicar para ver aumentada):
El mismo origen tiene la bonita espiral que aparece en el ojo de santa lucía. No ocurre lo mismo cuando, por ejemplo, un gusano ya formado se enrolla de sí mismo. La espiral que forma no es la misma que en el nautilus o el caracol porque el grosor del gusano es igual a lo largo. En este caso, la espiral es llamada de Arquímedes y la distancia entre los brazos es siempre la misma.
Se han realizado muchos estudios sobre la presencia del número phi en la naturaleza. La Filotaxis nació como una rama de la Botánica dedicada al estudio de las proporciones y distribución de las hojas en los tallos. Pero aún hay más, las Matemáticas siguen jugando un gran papel a la hora de modelar distintos procesos biológicos, aún pueden seguir ayudándonos a estudiar y entender el mundo en el que vivimos.
No puedo evitar volver a dejar el siguiente vídeo que me sigue pareciendo precioso (con él puse la primera entrada en el blog) y después del cual un mosquito deja de ser, simplemente, un bicho y pasa a ser una obra maestra. No dejo de preguntarme ¿por qué no se habla apenas de estas cosas en Secundaria?
Por otro lado, dando la vuelta a la frase anterior, la naturaleza puede nutrir a las Matemáticas como dijo Fourier: “El estudio profundo de la naturaleza es la fuente más fértil de descubrimientos matemáticos” y yendo más allá, no sólo "matemáticos".
Somos una pequeña parte de la naturaleza y puede que esa sea la razón de que nos sintamos tan atraídos por la “divina proporción”, que la asociemos con las proporciones bellas y hayan existido y existan muchos que hagan obras de arte utilizándola.
No puedo evitar volver a dejar el siguiente vídeo que me sigue pareciendo precioso (con él puse la primera entrada en el blog) y después del cual un mosquito deja de ser, simplemente, un bicho y pasa a ser una obra maestra. No dejo de preguntarme ¿por qué no se habla apenas de estas cosas en Secundaria?
Bibliografía:
- "La proporciónn aúrea. El lenguaje matemático de la belleza". Fernándo Corbalán.
- http://www.juntadeandalucia.es/averroes/recursos_informaticos/concurso2002/alumnado/naturaleza.html
- Wikipedia
- Programa Redes: la entrevista a Mario Livio, autor de "La proporción áurea", que incita a seguir deseando saber mucho más.
1 comentario:
ALAHUAK BAR
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