Goldbach y la suma de dos primos

Recuerdo, como siempre se suele hacer, aunque me parece que todo el mundo se acuerda, que un número primo es todo aquel número que sólo puede dividirse por 1 y por él mismo.

En principio, uno puede preguntarse qué... demonios tiene eso de importante para estar dándole tantas vueltas al tema. Como respuesta a esta pregunta, recomiendo que se vuelva a la entrada "¿Para qué conocer los números primos?". Ahí encontrarás, además de razones puramente matemáticas, otra razón puramente económica. Eso sí, la recompensa económica tiene que ser para los que no estén realmente desesperados (o sí...) porque para el problemita de encontrar la expresión general de los números primos parece que hay que armarse de paciencia y de fuerza.

Christian Goldbach

Lo mismo ocurre para otro problema referente a los números primos: la conjetura de Goldbach. Goldbach fue un matemático prusiano (1690-1764) que envió por carta al gran matemático Euler la siguiente conjetura:

“Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos”

Lo que está claro es que si no contamos el 2, todos los primos son impares y, por tanto, al sumar dos de ellos, el resultado va a ser par. También es verdad que cualquier número par lo podemos escribir como suma de dos números impares... Pero eso no significa que se puedan escribir como suma de dos primos.

¿Por qué se llama a tal cosa “conjetura”? Porque aún no se ha demostrado... Y hasta que no se demuestre, no dejará de ser algo que parece que se cumple, pero que no se tiene la seguridad de que funcione en todos los casos, ni de por qué funciona.

Un mes después de recibir la carta, Euler contestó a Goldbach que había comprobado que la conjetura era cierta hasta el número 1000:

4 =2 + 2 ; 6 = 3 + 3 ; 8 = 3 + 5 ; 10 = 3 + 7 ; 12 = 5 + 7 ...

Y así hasta hacerlo con el 1000. No satisfecho, tres meses y medio más tarde volvió a contestarle que lo había probado con éxito hasta el número 2500. Pero este método para comprobar que lo que Goldbach dijo era cierto era totalmente inviable... Para empezar, hay infinitos números pares... Sólo con esto, sería suficiente para comprender que llevaría, literalmente, una eternidad comprobarlo número por número. Aún así, también hay que añadir, que no conocemos todos los números primos... Así que, si para números muy grandes, necesitamos números primos muy grandes... Una razón de más para buscar otra estrategia.

¿Qué otra estrategia seguir para demostrar la conjetura de Goldbach? Eso quisieran saber muchos. No deja de chocar el hecho de que un enunciado tan sencillo, que todo el mundo “no matemático” puede comprender, sea uno de los problemas más importantes y difíciles de las Matemáticas hoy en día.

Mientras algunos le dan vueltas a la cabeza, hoy en día se le encargan a los ordenadores que hagan la tediosa tarea de seguir comprobando la conjetura... El récord parece ser que está en el número 1.000.000.000.000.000.000.
Marcus du Sautoy  dice que los números primos son como los átomos que componen a las moléculas que serían el resto de los números. Esta comparación de átomos y números primos se basa en la "descomposición en factores primos" que se enseña en 1º ESO. Por ejemplo:

Con la conjetura de Goldbach, los números pares volverían a ser "moléculas" diatómicas... Eso sí, el "enlace" entre los "átomos-primos" sería en este caso la operación suma y esta "descomposición" no siempre es única:

24 = 11+13

90 = 7+ 83 = 43 + 47

Como curiosidad, la conjetura de Goldbach es mencionada en la película: "La verdad oculta" (2005), que trata de una joven matemática, hija también de un matemático. El padre (Anthony Hopkins) muere y a la hija (Gwyneth Paltrow) le preocupa haber heredado, no sólo su gusto y habilidad para las Matemáticas, sino su enfermedad mental. La conjetura de Goldbach también aparece en la película española "La habitación de Fermat" (2007).

Bibliografía:

1. “Los números primos. Un largo camino al infinito”. Enrique Cracián. Ediciones RBA.
2.  http://es.wikipedia.org/wiki/Conjetura_de_Goldbach
3. http://buscabiografias.com/bios/biografia/verDetalle/8558/Christian%20Goldbach

Teorema de Fermat y la "rueda de Pitágoras"

Pierre Fermat

Fermat (1601-1665) no fue un matemático, sino un abogado que ha pasado a la historia como el “príncipe de los aficionados” de las matemáticas. No es para menos.

Debido a su trabajo como funcionario, no podía tener demasiadas relaciones sociales para evitar rumores sobre corrupción, lo que pudo propiciar que desarrollara su afición a los números. Practicando las matemáticas como puro entretenimiento se comunicó con importantes matemáticos de la época y realizó, como quien no quiere la cosa, descubrimientos como el siguiente:

Si el exponente n es mayor que 2, no existen tres números a, b, c (ninguno 0) que cumplan la igualdad:

Dicha afirmación la escribió en el margen de un libro , diciendo también que no escribía la demostración porque no le cabía en el margen... Esto último casi se ha hecho tan famoso a lo largo de la historia como el mismo teorema. Durante más de tres siglos se intentó demostrar que lo que escribió Fermat era cierto... Sin éxito. Cuando murió, su hijo se encargó de publicar su obra y, según se sabe, no se encontró ni rastro de la demostración. De esta manera, no se sabe si realmente la hizo o si fue un “farol”. No fue la única vez, realizó otras conjeturas sobre números que a matemáticos de la talla de Euler les llevó años de trabajo comprobar matemáticamente si eran ciertas. Fermat no era matemático profesional, por lo que podía permitirse el lujo de dejar a otros el trabajo de demostrar lo que él parecía “adivinar” y seguir tan contento disfrutando de su hobby.

Andrew Willes

En fin... La afirmación de Fermat tuvo la categoría de conjetura hasta 1995. En este año Andrew Willes (nacido en 1953) saltó a la fama por haberla demostrado en 100 páginas, en las cuales no se utilizaron matemáticas precisamente básicas, sino adelantos sobre la teoría de números del siglo XX. Según el propio Willes, se vio atraído por la conjetura de Fermat desde pequeño, estudió Matemáticas en la Universidad... Y tras ocho años de arduo trabajo: voilá. Y no fue a la primera, en 1993 presentó a la comunidad matemática una demostración que resultó tener un error. La dedicación y su trabajo ha supuesto que sea uno de los matemáticos más influyentes de la actualidad.

Sello postal checo con el teorema de Fermat y el nombre de Willes

¿Por qué incluyo a Pitágoras en el título? Esto tiene que ver con mi amigo Vicente. Si hacemos n=2 en el enunciado de Fermat, obtenemos el teorema de Pitágoras si a, b, c son los lados de un triángulo rectángulo (por eso Fermat dice “para n mayor que 2) En el vídeo de la entrada “Teorema de Pitágoras” de más abajo, donde se visualiza la demostración de este último teorema, mi amigo me hizo una buena pregunta: “teniendo en cuenta que en la práctica los recipientes del líquido no son cuadrados, sino prismas... Y que se manejan volúmenes de agua, no superficies de agua, ¿implicaría el vídeo que la hipotenusa al cubo es la suma de los cubos de los catetos?” Pues, según el teorema de Fermat, no.

En fin, puede que no es que sea una explicación muy rigurosa, pero se me ha ocurrido el pretexto para incluir a Fermat. Para demostrar el teorema de Pitágoras no hace falta ningún artilugio como el del vídeo, basta con ayudarse de un dibujo en el que se utilizan cuadrados, no primas. Así pues, si nos empeñamos en hacer una demostración espectacular como las de abajo, tendremos que utilizar prismas con una profundidad pequeña para no observar errores... Y por supuesto, procurar que todos los prismas tengan la misma profundidad. Aquí dejo un vídeo de "Universo matemático" donde se habla de la suma de cuadrados (pitágoras) y la suma de otras potencias superiores:

Bibliografía:

1. Los números primos. Un largo camino al infinito”. Enrique Gracián. Ediciones RBA.
2. http://divulgamat.ehu.es/weborriak/historia/mateospetsuak/Inprimaketak/Fermat.asp 
3. Los vídeos siguientes son un documental de la BBC donde se  entrevistaa Andrew Willes:

http://www.youtube.com/watch?v=BAfPRMgSTfc&p=C7C4C64B611F568C

    4. Wikipedia 

Algo más sobre Pitágoras

Por cierto, no se sabe con seguridad si Pitágoras (582 a.C.-507 a.C.) fue el descubridor del famoso teorema. Él fue el fundador de la Escuela Pitagórica, la cual afirmaba que "Todo es número" o "el número es la esencia del Universo",  haciendo referencia a que todo en el Universo está basado en números. Partiendo de esta base, las Matemáticas eran parte de ese camino hacia la sabiduría. No era una escuela como se entiende hoy en día, sino una comunidad en la que se aprendía de él, se investigaba y se compartían ideas. El conocimiento se transmitía entre los miembros de la Escuela oralmente y por otro lado, existía una norma, según la cual, los miembros no podían hablar de las enseñanzas recibidas fuera de la orden. Si a esto se añade, además, que todos las investigaciones se le atribuían finalmente a Pitágoras, el resultado es que no se tiene ninguna prueba de quien fue realmente el descubridor del teorema.

No se tiene tampoco ningún dato sobre el aspecto físico de Pitágoras, salvo que tenía una marca de nacimiento en un muslo. El busto que aparece en la imagen fue realizado mucho después de su muerte.
A Pitágoras se le atribuye el formular de manera abstracta los resultados, independientemente del contexto material donde ya eran conocidos. Así pues, por ejemplo, el teorema de Pitágoras ya era aplicado en la práctica en otras civilizaciones, pero fueron los pitagóricos los que enunciaron esa relación entre los lados de un triángulo rectángulo de manera más abstracta, sin buscar ninguna aplicación, independientemente de dónde se presentara el triángulo o con qué se dibujara.
La Escuela Pitagórica no tenía sólo como objeto estudiar Matemáticas, en realidad de trataba más de una secta o una orden religiosa, donde los miembros perseguían la purificación del alma a través del estudio y el conocimiento del orden del Universo. Esto le dio una nueva dimensión a las Matemáticas,  que no se estudiaban  tan solo para aplicarlas en Ingeniería o al mercado, sino que era un camino para conocer el mundo. Pitágoras fue el primero en dar a la Filosofía el significado de "amor a la sabiduría" y la palabra Matemáticas significaba "lo que se conoce" o "lo que se aprende".
Precisamente en la escuela había dos tipos distintos de enseñanza, que luego darían lugar a dos tipos de miembros: los Matemáticos («conocedores»), que estaban especialmente dotados para el pensamiento abstracto y el conocimiento científico y los Acusmáticos («auditores»), que reconocían la verdad de forma intuitiva a través de dogmas y creencias indemostrables y sin fundamento y principios morales.

Dado el carácter místico tan marcado de los pitagóricos, la organización tenía unas normas muy estrictas y curiosas. Por ejemplo, los pitagóricos no podían comer carne. Esto no es  raro porque estamos acostumbrados a verlo hoy en día en bastante gente, lo que sí es curioso es que tampoco podían comer habas, laurel, probar vino... Tampoco podían utilizar ropa de lana, ni atizar el fuego con un hierro... La hermandad estaba dividida en estudiantes y oyentes. Estos últimos sólo podían observar el comportamiento de los estudiantes y estos a su vez recibían las enseñanzas directamente del fundador. La práctica del silencio era muy importante en el interior de la comunidad, siendo también famosa la frase "Cállate o di algo mejor que el silencio" o "No sabe hablar quien no sabe callar" (benditas frases...) Igualmente era importante fuera, ya que los pitagóricos tenían prohibido hablar de sus enseñanzas a los que no fuesen miembros de la orden. Se dice incluso, que se quiso mantener en secreto el descubrimiento de los números irracionales y que acabaron ahogando a un miembro al que se le fue la lengua.
Existen muchas leyendas sobre Pitágoras, cada cual más curiosa (recomiendo que se busque la relacionada con las habas, el alma y los pedos) . También sobre su escuela debido al secretismo y halo de misterio que envolvía a la orden. Por otro lado, con el tiempo acabó participando en la política, lo que hizo que los pitagóricos acabaran perseguidos y Pitágoras muerto.
Pero, por encima de todas las rarezas que se cuentan sobre este personaje hay dos que me llaman la atención y que quiero resaltar. La primera: las mujeres podían pertenecer a la organización, lo que no era tan normal en aquel entonces. De hecho, los pitagóricos podían ser de cualquier lugar, religión,raza y clase social. Puede que en la mentalidad abierta de Pitágoras  influyera el haber viajado por Egipto y Mesopotamia y haber recogido conocimientos de cada lugar en el que estuvo.

Es más, Pitágoras se casó con una de sus discípulas: Teano, la primera mujer matemática de la que se tiene noticia y que siguió dirigiendo la escuela después de su muerte.

La segunda es que fueron los primeros en decir que la Tierra era esférica, sugiriendo, además, que no tenía que ser el centro del Universo.
Sobran razones para hacer una película sobre el matemático más famoso de la historia.
Bibliografía:

• http://divulgamat.ehu.es/weborriak/historia/MateOspetsuak/Pitagoras.asp
• http://www.publi-articulos.com/literatura/pitagoras-el-iniciado.html
• http://es.wikipedia.org/wiki/Pitagóricos
• http://es.wikipedia.org/wiki/Pitágoras
  

Teorema de Pitágoras

Ya dije en clase que había una demostración muy visual del teorema de Pitágoras. Hay muchos vídeos por el estilo en youtube y de todos ellos he escogido este:

¿Por qué es una demostración? Como se sabe de cursos anteriores, el área de un cuadrado es el lado al cuadrado:

Podemos dibujar un cuadrado a partir de cada lado del triángulo rectángulo, como aparece en el vídeo.  Cada uno de los cuadrados los llenamos de agua, por lo que el área de agua es el área del cuadrado.
Al girar el sistema, el área de agua correspondiente a un cateto más el área de agua asociada al otro cateto dan como resultado el área de agua correspondiente a la hipotenusa, por lo que:

c.q.d (iniciales de la expresión latina  "quod erat demonstrandum", es decir, "queda demostrado")

Una pregunta para nota es... ¿demuestra el siguiente vídeo que el teorema de Pitágoras es falso? ¿Por qué? Una vez superada la cara de pasmado del muchacho de la foto, pensad en la respuesta.

Divina proporción en la naturaleza

La proporción áurea aparece en un sinfín de casos en la naturaleza. Uno de ellos es la proporción entre distintas partes de nuestro propio cuerpo, como expuse brevemente en la entrada "Cuerpo áureo". Pero hay muchos más ejemplos, realmente innumerables: la razón del diámetro del tronco de un árbol y el de las primeras ramas que salen de él es áurea, al igual que la razón entre las nervaduras de las hojas.  Los siguientes ejemplos son bastante evidentes siguiendo el hilo de "número de oro" en este blog:

Al cortar una manzana transversalmente nos encontramos con un pentagrama, al igual que en la estrella de mar

La galaxia M101 a 25 millones de a.l , el tifón Rammasun y trazas dejadas por partículas subatómicas en una cámara de burbujas del CERN

Tan diferentes en tamaño (la galaxia tiene una 170000 a.l. de anchura y el tifón unos 1000 Km), estando uno a millones de años luz de distancia y el otro aquí en nuestro planeta,  las dos estructuras tienen en común el tener la misma geometría: una espiral logarítmica. A una escala muchísimo más pequeña, lo mismo ocurre a cuando se registran en una cámara de burbujas las trazas dejadas por partículas subatómicas, como los electrones o los protones, producidas tras la colisión de dos partículas iniciales.

Ojo de santa lucía

Poniendo nuevamente los pies en la tierra a la escala a la que estamos habituados y dando un paseo por la playa, nos podemos encontrar con la llamada "ojo de santa lucía".

La espiral logarítmica que más aparece en los libros y en la red es el caparazón del nautilus.

Y un caso que me parece verdaderamente curioso: en la población de abejas en una colmena. Según parece la razón entre las abejas macho y las abejas hembra es el número phi. Esto tiene que ver con la vinculación que hay entre el número áureo y la llamada sucesión de Fibonacci. Esta sucesión es la siguiente: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89...

Cada número es la suma de los dos anteriores. Ejm: 13 = 5+8. La sucesión tiene infinitos términos.

Si llamamos a_n  al n-ésmo término de la sucesión y a_n+1  al término siguiente, se tiene que cuanto más lejos nos vamos en la sucesión, es decir, cuanto más grandes sean los términos, la razón:

a_n /a_n+1 

tiende al número phi. Esto se puede comprobar fácilmente: 8/5 = 1.6 ; 13:8 = 1.625 ; 21/13 = 1.615... Y así sucesivamente, de donde se obtiene una difinición del número de oro diferente a la de las entradas anteriores.

Como es sabido la comunidad de una colmena es peculiar: los machos (zánganos) dedican su vida a fecundar huevos de la reina, la cual vive exclusivamente para poner huevos. De los huevos fecundados se producen las abejas hembras (las obreras) y de los que no son fecundados, los machos. Supongamos entonces, que tenemos un zángano y nos ponemos a hacer su árbol genealógico (clicar para ver más grande):

Cada generación está escrita en un color diferente. A continuación está escrita la cantidad de abejas en cada genración (negro). Al lado, en azul, están la cantidad de hembras de esa generación y en rojo la cantidad de zánganos.

Como puede verse, el número total de antepasados del zángano sigue la sucesión de Fibonacci: 

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55... 

Por otro lado, también el número de hembras en cada generación:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,13 ...

Y el número de machos en cada generación:

1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...

Si dividimos el número de hembras entre el número de machos en cada generación se puede apreciar que el resultado tiende al número de oro conforme consideramos generaciones más anteriores.

Teniendo en cuenta que la comunidad de la colmena es cerrada, la proporción entre machos y hembras en la población será esa.

En el reino vegetal, la sucesión de Fibonacci y el número phi están especialmente presentes... Tanto en las 

dimensiones de hojas, como en la distribución de estas a lo largo del tallo, en la distribución de las semillas en un girasol o en una margarita, en el número de pétalos de una margarita, en los pétalos de una rosa...

Diente de león: sus semillas
se distribuyen como las de un girasol

Erizo de mar, donde las espinas se distribuyen como
las semillas en el diente de león
Imágenes de: http://es.123rf.com

Dejo el siguiente video que me parece bastante interesante:

En él aparece el ángulo 137.5º, llamado ángulo áureo porque está muy relacionado con el número  de oro. Ese es el ángulo con el que se van dispersando las semillas del girasol conforme van surgiendo.. Y es también el ángulo que forman entre sí las hojas en el tallo de una flor. El tallo comienza teniendo forma cónica y el primer par de hojas salen en la base, que es más ancha. Las próximas dos hojas salen cuando el tallo ha crecido más separadas por el mismo ángulo entre ellas 137.5º... Y así sucesivamente. De esta forma, después de haber brotado 4 pares de hojas, estas no se hacen sombra las unas a las otras cuando el sol está en el punto más alto. Las hojas quedan repartidas de forma uniforme, por igual y con eficacia.

Realmente, hay innumerables ejemplos y siento el impulso de ponerlos todos, porque no dejo de sorprenderme. Unido esto a que se le vincula también a la belleza y la armonía, la proporción áurea fue también llamada la “divina proporción”. Las formas de los ejemplos anteriores y las proporciones no son así por casualidad. El número áureo 1.62 (aprox) es una especie de protagonista, a la naturaleza le gusta este número. La pregunta inevitable es ¿por qué?. Si consideramos que la naturaleza no tiene conciencia, que las plantas no piensan cómo distribuir sus hojas, lo mismo que nosotros no decidimos las proporciones de nuestro propio cuerpo (hasta que alguien decide ponerse unos labios descomunales que casi no puede cerrar)... Y teniendo en cuenta que a la naturaleza le gusta optimizar (con la mínima energía es mejor, por no decir, que si no es con la mínima no lo hace) y lo que perdura es lo eficaz, la respuesta tiene que estar en esa dirección.  

Nautilus

Ejemplo de ello es el caso del número y distribución de hojas alrededor de un tallo, como se expuso brevemente arriba. Otro ejemplo fácil de explicar es el del nautilus. Conforme este va creciendo y se van creando más cámaras en su interior, estas van siendo cada vez más grandes. Si la forma de la concha se mantiene durante el crecimiento, resulta finalmente una espiral logarítmica. Bueno, en realidad no es una espiral logarítmica exacta, pero se le asemeja bastante, tal y como se puede ver en la siguiente figura (clicar para ver aumentada):

El mismo origen tiene la bonita espiral que aparece en el ojo de santa lucía. No ocurre lo mismo cuando, por ejemplo, un gusano ya formado se enrolla de sí mismo. La espiral que forma no es la misma que en el nautilus o el caracol porque el grosor del gusano es igual a lo largo. En este caso, la espiral es llamada de Arquímedes y la distancia entre los brazos es siempre la misma.

Se han realizado muchos estudios sobre la presencia del número phi en la naturaleza. La Filotaxis nació como una rama de la Botánica dedicada al estudio de las proporciones y distribución de las hojas en los tallos. Pero aún hay más, las Matemáticas siguen jugando un gran papel a la hora de modelar distintos procesos biológicos, aún pueden seguir ayudándonos a estudiar y entender el mundo en el que vivimos.

Por otro lado, dando la vuelta a la frase anterior, la naturaleza puede nutrir a las Matemáticas como dijo Fourier: “El estudio profundo de la naturaleza es la fuente más fértil de descubrimientos matemáticos” y yendo más allá, no sólo "matemáticos".

Somos una pequeña parte de la naturaleza y puede que esa sea la razón de que nos sintamos tan atraídos por la “divina proporción”, que la asociemos con las proporciones bellas y hayan existido y existan muchos que hagan obras de arte utilizándola.

No puedo evitar volver a dejar el siguiente vídeo que me sigue pareciendo precioso (con él puse la primera entrada en el blog) y después del cual un mosquito deja de ser, simplemente, un bicho y pasa a ser una obra maestra. No dejo de preguntarme ¿por qué no se habla apenas de estas cosas en Secundaria?

Bibliografía:

• "La proporciónn aúrea. El lenguaje matemático de la belleza". Fernándo Corbalán.
• http://www.juntadeandalucia.es/averroes/recursos_informaticos/concurso2002/alumnado/naturaleza.html
• Wikipedia
• Programa Redes: la entrevista a Mario Livio, autor de "La proporción áurea", que incita a seguir deseando saber mucho más.

• http://observatorio.info/2008/05/espirales-logaritmicas/
• www.taringa.net
• http://www.etereaestudios.com/docs_html/nbyn_htm/about_index.htm