viernes, 3 de junio de 2011

Cómo calcular el radio de la Tierra: el INGENIO de Eratóstenes

La mayoría de la gente diría que creer que el Universo gira alrededor de la Tierra es algo absurdo... Y más aún, creer que la Tierra es plana. Es imposible no haber visto nunca alguna imagen captada desde el espacio exterior de nuestro planeta, flotando en un vacío negro... Y a todos nos han explicado que la existencia del día y la noche se debe a que la Tierra gira alrededor de sí misma y que por eso, mientras en unos lugares es de noche, en otros es de día. También nos han explicado,  al menos alguna vez, que un año es la cantidad de tiempo que la Tierra tarda en dar una vuelta alrededor del Sol... Y que nuestro Sol es  solo una más de la infinidad de estrellas que hay en el Universo. Y quizás muchos puedan pensar que todo eso es relativamente moderno, porque hace 2000 años (y también hace 200) no se tenían cámaras, ni siquiera telescopios para poder saberlo, ni tantos libros, revistas, internet, ni cables, ni pilas... Quizá podamos pensar que debido a eso, en la antigüedad la humanidad vivía en la más profunda ignorancia en ese aspecto. Pero no fue así.
Eratóstenes (276 a.C-194 a.C)
En la Antigua Grecia, hace 2500 años más o menos, ya fueron alimentando la idea de que la Tierra no era plana, tal y como es natural intuir si no se observa con algo de detalle  lo que nos rodea. Cuando los barcos se iban mar adentro, se fijaron en que toda la imagen del barco no se iba haciendo cada vez más pequeña hasta que desaparecía sino que primero desaparecía el casco del barco, la parte más grande, y por último el mástil con las velas. Esto, junto con el hecho de ver el Sol y la Luna circulares, pudo alimentar la idea en los filósofos de que la Tierra, al igual que el Sol y la Luna, era una esferas: la figura geométrica más perfecta.  Partiendo de ahí, sin ningún telescopio, ni ningún aparato sofisticado que podamos tener hoy en día, Eratóstenes (276 a.C.) consiguió averiguar por primera vez: el radio de la Tierra, el tamaño de la Luna  y del Sol y la distancia a la que éstos están de la Tierra.

CÁLCULO DEL RADIO DE LA TIERRA


La estimación que hizo Eratóstenes del radio de la Tierra fue, sencillamente, genial. Partiendo de que la Tierra tenía forma de esfera, los rayos solares inciden al mediodía en las ciudades de Alejandría y Syene como aparece en la figura de abajo (obviamente, el ángulo de 7,2º está muy exagerado en el dibujo).
Eratóstenes observó que al mediodía del 21 de Junio (solsticio de verano), un pozo situado en Syene era iluminado completamente hasta el fondo, mientras que a la misma hora, en Alejandría, no ocurría lo mismo.  Así, en la misma fecha y la misma hora, averiguó el ángulo que formaba un palo  clavado en el suelo con los rayos solares a esa hora, resultando ser 7,2º. Este ángulo, como se ve en el dibujo, es el mismo que forma el radio de la Tierra en Alejandría y el radio de la Tierra en Syene.

 La longitud de un arco y el ángulo que encierra son magnitudes directamente proporcionales. Por tanto, la razón entre dos ángulos es igual a la razón entre las distancias (longitudes de arco). Así, teniendo en cuenta que cuando se da la vuelta al planeta giramos 360º y recorremos la longitud de un círculo del mismo radio:


Donde 902,4 km er la distancia medida entre Syene y Alejandría.
De ahí se despeja que L = 46250 km! , el la longitud de un meridiano terrestre. Como se sabía por otro lado: L = 2πR, se despeja fácilmente:
¡R= 7374 km!
El valor real es: 6385 km, por lo que Eratóstenes averiguó el radio de la Tierra con un error absoluto de: 989 km.
El error relativo sería entonces:

, es decir: cometió un error del 15%.

En una época en la que no todo el mundo creía que la Tierra fuese esférica, hace más de 2000 años, alguien, sólo con la ayuda de su ingenio y sus observaciones calculó el radio del planeta científicamente. Hasta ese momento, quienes creyeran que la Tierra es “redonda” no tenían ni idea de cuánto de grande era, igual podría tener 2000 que 200000 km de radio. Ni siquiera tenía calculadora... Solo un palo, por tener una sombra fácil de medir. Aunque nos podemos preguntar, ¿cómo midió la distancia entre las ciudades: 902 km? De la manera más elemental: le encargó a alguien que fuese de una ciudad a otra andando en línea recta (o lo más recta posible) y que contase los pasos. Originalmente, la distancia se midió en “estadios”, es decir, la longitud del estadio de Olimpia, ya que entonces no existía la unidad del “metro”. El “medidor” dijo recorrer, aproximadamente, 5000 estadios. Sabiendo que el estadio medía 185 m de longitud, se tiene obtienen los 902 km.
El error, que no es tan grande, sobre todo teniendo en cuenta las circunstancias, pudo ser debido a diferentes factores razonables: error al medir el ángulo entre el palo y los rayos solares, error al medir la distancia entre Syene y Alejandría, error al determinar el momento exacto del mediodía durante el solsticio (cuando el fondo del pozo estaba iluminado)...
A continuación dejo un vídeo, donde el gran Carl Sagan también explicó esto en su serie Cosmos:
Pero aquí no terminó su tarea...
Bibliografía:
  • "Big Bang". Simon Sing. Montesinos Editor, S.A.
  • http://nacc.upc.es/nacc-libro/node38.html